Аналогия.

Аналогия - сходство различных объектов по некоторым признакам.

Аналоги - объекты сходные по соответствующим признакам.

Сходственные признаки - признаки, по которым объекты оказываются аналогами.

Сходственные признаки могут иметь качественный и количественный характер.

В зависимости от этого различают качественную, количественную и смешанную аналогии.

Основное значение аналогий - перенос сведений с одного объекта на другой (аналог) на основании умозаключений по аналогии.

Умозаключение по аналогии - основано на предположении существования тождественного в различном и выполняется по схеме:

Установлено, что объект O₁ обладает свойствами C_0, C₁,..., C_N, C’₁,..., C’_n1.

Установлено, что объект O₂ обладает свойствами C₁,..., C_N, C’’₁,..., C’’_n2.

Вывод: возможно, что объект O₂ обладает свойством C₀, как объект O₁.

Если среди C’’ есть хотя бы одно свойство C’’_i несовместное с C₀, то сходство объектов по свойствам C₁,..., C_N не имеет никакого значения.

Умозаключение по аналогии имеет гипотетический характер, может привести либо к истинному, либо - ложному выводу.

Пример, аналогия между движением жидкости и процессом распространения тепла привела к неправильному выводу о существовании теплорода.

Суждение, полученное по аналогии, нуждается в специальной проверке. Вероятность правильности этого суждения тем больше, чем сильнее связь между свойствами C, чем слабее связь между C и C’ и между C и C’’, чем больше N и чем меньше n₁ n₂.

Умозаключение по аналогии имеет доказательный характер, если общие свойства объектов C₁,..., C_N обуславливают свойство C₀.

Умозаключение по аналогии - является основой аналогичного моделирования, пример, замещение организма человека организмом животного с целью исследования действия новых лекарств, что неоценимо важно для развития медицины.

Общенаучное значение аналогий - прежде всего для придания наглядности, аналогия электрического тока с движением жидкости, для формирования понятий и для иллюстрации. Примеры понятий, введенных по аналогии, - теплоемкость, запоминающее устройство, электродвижущая сила. Пример иллюстрации по аналогии - иллюстрацией понятия устойчивости служит система - шарик на вогнутой поверхности в поле тяготения.

Кроме того, аналогия может служить и как активизатор мышления, и как источник идей.

Пример: соотношения 1¹ + 2¹ = 3¹, 3² + 4² = 5² по аналогии привели математика П. Ферма к уравнению xⁿ + yⁿ = zⁿ с тремя неизвестными и к формулировке «великой теоремы» теории чисел, согласно которой это уравнение при любом целом n> 2 не имеет целых положительных решений. Справедливость теоремы Ферма доказана для всех n £ 100, но в общем виде она остается недоказанной.

Подробный пример: известно, что если все корни алгебраического уравнения a₀ + a₁x + a₂x² +... + a_nxⁿ = 0, a > 0, вещественные отрицательные и разные, | x₁ | < | x₂ | <... < | x_n |, то | x_i | = a_i-1/a_i. Если модуль каждого корня значительно превышает модуль предыдущего, т.е. | x_i-1 | < < | x_i |, то

a_o/a₁< a₁/a₂< a₂/a₃<... < a_n-1/a_n. (1.13)

Известно, что если непрерывная линейная стационарная САУ с характеристическим уравнением

A₀ + A₁p + A₂p² +... +A_npⁿ = 0, A > 0 (1.14)

устойчива, то алгебраические уравнения

A₀ + A₂y + A₄y² +... = 0

A₁ + A₃Y + A₅Y² +... = 0

имеют только вещественные отрицательные чередующиеся корни |y₁| < |Y₁| < |y₂| < |Y₂| <... Если модуль каждого из этих корней значительно превышает модуль предыдущего, т.е. | y_i-1 | < < | Y_i | < < | y_i+1 |, то аналогично (1.13)

A₀/A₂ < A₁/A₃ < A₂/A₄ <... < A_n-2/A_n. (1.15)

Эта аналогия приводит к идее использовать ряд отношений четных и нечетных коэффициентов (1.15) для анализа устойчивости непрерывных линейных стационарных систем и к грубому критерию устойчивости. Этот критерий требует составления ряда (1.15) и нахождения значений

a_i = A_i / A_i+2, ki = a_i / a_i-1 = (A_i / A_i+2) / (A_i-1 / A_i+1) = A_iA_i+1 / A_i-1A_i+2,

а также определяет достаточные условия устойчивости (все k_i ³ 2.15) и неустойчивости (хотя бы одно k_i £ 1). Простота критерия позволяет обойтись в некоторых случаях без всяких расчетов и констатировать устойчивость или неустойчивость, основываясь на простом обозрении ряда (1.15). Условие неустойчивости k_i £ 1 или соответствующее ему A_i-1A_i+2 £ A_iA_i+1 может быть установлено простым обозрением уравнения (1.14).

«Стандартным» методом генерации идей на основании аналогии является обобщение. Например, переход от биквадратных уравнений к бикубическим и биалгебраическим, от комплексных чисел к гиперкомплексным, от обычного преобразования Лапласа к многомерному и двустороннему.

Существенное значение аналогии заключается в возможности использовать ее для строгих выводов и доказательств.

Аналогия позволяет перейти к понятию подобия. Вид количественной аналогии - аналогия матема тическая - сходство объектов по их математическому описанию.

Сходственные функции - функции, различающиеся только аргументами и ненулевыми постоянными. Пример, z = x cos y и u = 2v cos 3w или r = 4s cos (5t + 6) и q = 7p cos (8l + 9) являются сходственными.

Сходственные переменные - переменные величины, входящие под знаки сходственных функций совершенно одинаковым образом.

Сходственные постоянные - аналогично сходственным переменным. Сходственные функции содержит сходственные переменные и , и , и , сходственные постоянные и , и , и .

Сходственные уравнения - получают приравниванием нулю или друг другу сходственных функций.

Наиболее полная математическая аналогия имеет место, если объекты описываются сходственными функциями и уравнениями.