Соединение приемников треугольником

Как видно из схемы рис. 3.12, каждая фаза приемника при соединении треугольником подключена к двум линейным проводам. Поэтому независимо от значения и характера сопротивлений приемника каждое фазное напряжение равно соответствующему линейному напряжению:

U_ф = U_л. (3.16)

Если не учитывать сопротивлений проводов сети, то напряжения приемника следует считать равными линейным напряжениям источника.

Рис. 3.12. Соединение фаз приемника треугольником

На основании схемы рис. 3.12 и выражения (3.16) можно сделать вывод о том, что соединение треугольником следует применять тогда, когда каждая фаза трехфазного приемника или однофазные приемники рассчитаны на напряжение, равное номинальному линейному напряжению сети.

Фазные токи I_ab, I_bc и I_са в общем случае не равны линейным токам I_a, I_b и I_c. Применяя первый закон Кирхгофа к узловым точкам а, b и с, можно получить следующие соотношения между линейными и фазными точками:

I_a = I_ab - I_ca, I_b = I_bc - I_ab, I_c = I_ca - I_bc. (3.17)

Используя указанные соотношения и имея векторы фазных токов, нетрудно построить векторы линейных токов.

3.5.1. Симметричная нагрузка. В отношении любой фазы справедливы все формулы, полученные ранее для однофазных цепей, например

I_ab = U_ab /z_ab; φ _ab = arcsin x_ab /z_ab;

Р_ab = U_ab I_ab cos φ _ab = I_ab²r_ab; 3.18)

Q_ab = U_ab I_ab sin φ _ab = I_ab²x_ab;

S_ab = U_ab I_ab = I_ab²z_ab = .

Очевидно, при симметричной нагрузке

I_ab = I_bc = I_ca = I_ф;

φ _ab = φ _bc = φ _ca = φ _ф;

P_ab = P_bc = P_ca = P_ф;

Q_ab = Q_bc = Q_ca = Q_ф;

S_ab = S_bc = S_ca = S_ф.

Рис. 3.13. Векторные диаграммы при соединении приемника треугольником в случае симметричной нагрузки

Векторная диаграмма фазных (линейных) напряжений, а также фазных токов при симметричной активно-индуктивной нагрузке приведена на рис. 3.13, а. Там же в соответствии с выражениями (3.17) построены векторы линейных токов. Следует обратить внимание на то, что при изображении векторных диаграмм в случае соединения треугольником вектор линейного напряжения U_ab принято направлять вертикально вверх.

Из приведенных выражений и векторной диаграммы следует, что при симметричной нагрузке существуют симметричные системы фазных и линейных токов.

Векторы линейных токов чаще изображают соединяющими векторы соответствующих фазных токов, как показано на рис. 3.13, б. На основании векторной диаграммы рис. 3.13, б

I_a = 2I_ab sin 60° = I_ab,

Такое же соотношение существует между любыми другими фазными и линейными токами. Поэтому можно написать, что при симметричной нагрузке вообще

I_a = I_ф. (3.19)

Для определения мощностей трехфазного приемника при симметричной нагрузке можно воспользоваться полученными ранее формулами (3.13) и (3.14).

Пример 3.3. К трехфазной сети с линейными напряжениями U_л = 220 В должен быть подключен трехфазный приемник, каждая фаза которого рассчитана на напряжение 220 В и содержит активное сопротивление r_ф = 8, 65 Ом, а также индуктивное сопротивление x_ф = 5 Ом, соединенные последовательно.

Определить фазные и линейные токи, углы сдвига фаз между фазными напряжениями и токами, а также мощности.

Решение. Так как каждая из фаз приемника рассчитана на напряжение, равное линейному напряжению трехфазной сети, фазы приемника должны быть соединены треугольником (см. рис. 3.12).

Полные сопротивления фаз, фазные и линейные токи:

z_ф = = 10 Ом, I_ф = U_ф /z_ф = 22 А, I_л = I_ф = 38 А.

Углы сдвига фаз между напряжениями и токами

φ _ф = arcsin x_ф /z_ф = 30°.

Полная активная и реактивная мощности приемника и любой фазы

S = U_л I_л = 4730 В•А = 4, 73 кВ•А;

S_ф = S/3 ≈ 1576 В•А ≈ 1, 58 кВ•А;

Р = Scos φ _ф = Sr_ф /z_ф ≈ 4100 Вт = 4, 1 кВт;

Р_ф = Р/3 ≈ 1366 Вт ≈ 1, 37 кВт;

Q = Ssin φ _ф = Sx_ф /z_ф ≈ 2365 вар ≈ 2, 36 квар;

Q_ф = Q/3 ≈ 788 вар = 0, 788 квар.

Векторные диаграммы приемника приведены на рис. 3.13.

Несимметричная нагрузка.

Как и при соединении звездой, в случае соединения треугольником однофазные приемники делят на три примерно равные в отношении мощности группы. Каждая группа подключается к двум проводам, между которыми имеется напряжение, отличающееся по фазе от двух других напряжений сети (рис. 3.14). В пределах каждой группы приемники соединяются параллельно.

Рис. 3.14. К вопросу о соединении однофазных приемников треугольником

После замены приемников каждой фазы одним приемником с эквивалентным сопротивлением и соответствующего их расположения получим схему, приведенную на рис. 3.12.

Фазные токи, углы сдвига фаз между фазными напряжениями и токами, а также фазные мощности можно определить по формулам (3.18). При несимметричной нагрузке фазные токи, углы сдвига фаз и фазные мощности будут в общем случае различными. Векторная диаграмма для случая, когда в фазе a_b имеется активная нагрузка, в фазе b_с — активно-индуктивная, а в фазе с_а — активно-емкостная (рис. 3.15), приведена на рис. 3.16. Построение векторов линейных токов произведено в соответствии с выражениями (3.17).

Рис. 3.15. Схема цепи к примеру 3.4

Для определения мощностей всех фаз следует пользоваться формулами

P = P_ab + P_bc + P_ca, Q = Q_ab + Q_bc + Q_ca, (3.20)

Формулы (3.13) и (3.14), полученные ранее для симметричной нагрузки, не пригодны для определения мощностей при несимметричной нагрузке.

Если кроме фазных токов требуется определить линейные токи, задачу следует решать в комплексной форме. Для этой же цели можно воспользоваться векторной диаграммой.

При решении задачи в комплексной форме необходимо прежде всего выразить в комплексной форме фазные напряжения, а также полные сопротивления фаз. Когда это сделано, нетрудно по закону Ома определить фазные токи. Например, комплексное выражение тока I_ab будет

I _ab = U _ab / Z _ab. (3.21)

Линейные токи определяются через фазные с помощью выражений (3.17).

Рис. 3.16. Векторная диаграмма фазных и линейных напряжений и токов при соединении приемника треугольником в случае несимметричной нагрузки

Комплексным методом можно воспользоваться и для определения фазных мощностей. Так, мощности фазы а_b будут равны

S _ab = U _ab I *_ab = Re S _ab, (3.22)

Q_ab = Im S _ab; S _ab = .

Рассмотрим, как будут изменяться значения различных величин в электрической цепи рис. 3.15 при изменении сопротивления приемников. Например, если при x_Cca /r_ca = const увеличить вдвое сопротивление z_ca, то ток I_ca уменьшится, а угол φ _ca не изменится (см. рис. 3.16). Очевидно, при этом уменьшатся и токи I_а, I_c, а также мощности Р_са, Q_са, S_са. Токи I_аb, I_bc, I_b, углы φ _ab, φ _bc, а также мощности Р_ab, Q_ab, S_ab, Р_bc, Q_bc, S_bc останутся постоянными. При отключения фазы с_а сопротивление

z_ca = ∞, I_са = 0, токи I_аb, I_bc, I_b, а также углы φ _ab, φ _bc не изменятся, а токи I_а и I_c уменьшатся I_a = I_ab, I_c = - I_bc.

Пример 3.4, В электрической цепи рис. 3.15 U_a = 220 В, r_аb = 40 Ом, r_bc = 17, 3 Ом, х_Lbc = 10 Ом, r_са = 8, 65 Ом,

х_Сса = 5 Ом. Определить фазные и линейные токи, а также мощности.

Решение. Условимся определять линейные токи аналитически, для чего будем решать задачу комплексным методом. Поскольку вектор линейного напряжения U_ab при соединении в треугольник принято обычно направлять как вектор ЭДС Е_а вертикально вверх (см. рис. 3.2, б), для определения комплексных значений линейных напряжений можно воспользоваться выражениями (3.2). Получим

U_ab = U_ab = 220 В,

U_bc = U_bc cos(-2π /3) + jU_bc sin(-2π /3) = - 110 - j190 В,

U_ca = U_ca cos(-4π /3) + jU_ca sin(-4π /3) = - 110 + j190 В.

Комплексные значения полных сопротивлений фаз

Z_ab = 40 Ом, Z_bc = 17, 3 + j10 Ом, Z_ca = 8, 65 - j5 Ом.

Комплексные и действующие значения фазных и линейных токов:

; I_bc = - 9, 5 - j5, 5 А;

I_bc = ≈ 11 A;

I_ca = -19 + j11 A; Ica = ≈ 22 A;

I_a = I_ab - I_ca ≈ 24, 5 - j11 A; I_a ≈ 26, 9 A;

I_b = I_bc - I_ab ≈ - 15 - j5, 5 A; I_b ≈ 16A;

I_c = I_ca - I_bc ≈ - 9, 5 + j16.5 A; I_c ≈ 19 A.

Далее можно решать задачу, не прибегая к комплексному методу. Активные, реактивные и полные мощности фаз:

Р_ab = I_ab2r_ab = 1210 Вт; Р_bc = 2090 Вт; Р_ca = 4190 Вт;

Q_ab = 0; Q_bc = I_bc²xL_bc = 1210 вар;

Q_ca = I_ca²x_Cca = - 2420 вар; S_ab = Р_ab = 1210 В•А;

S_bc = U_bc I_bc = 2420 В•A; S_ca = U_ca I_ca = 4840 В•А.

Общие активные и реактивные мощности:

P = Р_ab + Р_bc + Р_ca = 7490 Вт; Q = Q_ab + Q_bc + Q_ca = - 1210 вар.

Углы сдвига фаз между фазными напряжениями и токами

ab = 0, φ ab = arcsin = 30°, φ ca = arcsin = - 30°

Векторная диаграмма приемника дана на рис. 3.16.