Векторные диаграммы

Для упрощения анализа и расчета цепей переменного тока целесообразно использовать векторы.

В электротехнике векторами изображаются изменяющиеся синусоидально ЭДС, напряжения и токи, но в отличие от векторов, которыми изображались силы и скорости в механике, эти векторы вращаются с постоянной угловой частотой ω и не означают направление действия.

Допустим, что радиус-вектор ОА (рис. 2.3, а), представляющий собой в определенном масштабе амплитудное значение ЭДС Е_т, вращается с постоянной угловой частотой ω = 2 π f против часовой стрелки. Проекция вектора ОА на вертикальную ось (ось у) будет равна

О_а = ОA sin α.

Выразив ОА через амплитудное значение ЭДС Е _т и α через ω t, получим выражение мгновенного значения ЭДС, изменяющейся синусоидально:

е = Е_т sin ω t.

График мгновенных значений ЭДС изображен на рис. 2.3, б. За начало отсчета выбран момент времени, когда радиус-вектор совпадает с горизонтальной осью (ось х).

Рис. 2.3. Вращающиеся векторы (а) и график мгновенных значений синусоидальной ЭДС (б)

Если в момент t =0 радиус-вектор ОА совпадает с линией, расположенной под углом ψ к оси х, то проекция Оа' и, следовательно, ЭДС будут соответственно равны

Оа' = ОА' sin (ω t + ψ), е = E_m sin (ω t + ψ).

Аналогично можно представить в виде векторов, вращающихся против часовой стрелки с постоянной угловой частотой ω, напряжение и ток.

Расчет цепей синусоидального тока производят в действующих значениях ЭДС, напряжений и токов. При этом суммирование Е, U, I проще осуществить с помощью вращающихся векторов, вместо того чтобы, сложив мгновенные значения е, и, i, определить действующие значения результирующих Е, U, I интегрированием гармонических функций. Адекватность этих действий можно обосновать так.

Допустим, что в каком-то узле цепи переменного тока (рис. 2.4, а) известны значения токов i₁ и i₂:

i₁ = I_1msin (ω t + ψ ₁);

i₂ = I_2msin (ω t + ψ ₂).

Требуется определить ток i.

На основании первого закона Кирхгофа мгновенное значение тока

i = i₁ + i₂,

т. e.

i = I_1msin (ω t + ψ ₁) + I_2msin (ω t + ψ ₂).

Ток i можно определить аналитически путем тригонометрических преобразований или графически сложением графиков мгновенных значений токов i₁ и i₂, как это сделано на рис. 2.4, б. Результирующий ток также изменяется синусоидально и в соответствии с рис. 2.4, б

Рис. 2.4. Сложение синусоидальных токов с помощью векторов (а): графики мгновенных значений токов (б)

i = I_m sin (ω t + ψ).

Значительно проще произвести сложение токов i₁ и i₂, если изобразить амплитуды токов в виде векторов и сложить их по правилу параллелограмма. На рис. 2.4, а амплитуды токов I₁m и I₂m изображены в виде векторов под углами начальных фаз ψ ₁ и ψ ₂ относительно оси х. По прошествии времени t векторы повернутся на угол α = ω t. Проекции амплитуд на ось у составят

i₁ = I_1msin (ω t + ψ ₁);

i₂ = I_2msin (ω t + ψ ₂).

Сложив векторы I_1m и I_2m по правилу параллелограмма (см. рис. 2, 4, а), получим амплитуду результирующего тока I_m. Сумма проекций токов I_1m и I_2m равна проекции результирующего тока I_m:

i = i1 + i2.

Полученное выражение соответствует первому закону Кирхгофа для рассматриваемого узла цепи (см. рис. 2.4, а). Из рис. 2.4. а видно, что взаимное расположение векторов I _1m, I _2m и I _m в любой момент времени остается неизменным, так как они вращаются с постоянной угловой частотой ω. Аналогично можно определить сумму нескольких изменяющихся синусоидально с одинаковой частотой напряжений или ЭДС Например, в последовательной цепи переменного тока действуют три напряжения:

u₁ = U_1m sin (ω t + ψ ₁);

u₂ = U_2msin (ω t + ψ ₂);

u₃ = U_3msin (ω t + ψ ₃).

Сумму u = u₁ + u₂ + u₃ напряжений можно определить путем сложения векторов их амплитуд (рис. 2.5)

Рис 2.5. Векторная диаграмма напряжений

Ū _m = Ū _1m + Ū _2m + Ū _3m

и последующей записи результирующего напряжения u = U_m sin (ω t + ψ).

Совокупность нескольких вращающихся векторов, соответствующих уравнениям электрической цепи, называется векторной диаграммой.

Обычно векторные диаграммы строят не для амплитудных, а для действующих значений. Векторы действующих значений отличаются от векторов амплитудных значений только масштабами, так как

I = I_m / .

При построении векторных диаграмм обычно один из исходных векторов располагают на плоскости произвольно, остальные же векторы — под соответствующими углами к исходному. При этом в подавляющем большинстве случаев можно обойтись без нанесения осей координат х и у.