Практическая часть. Задание.Решить задачу Коши для дифференциального уравне­ния у' = f(x,y) на отрезке [a; b] при заданном начальном условии и шаге интегрирования h.

Задание. Решить задачу Коши для дифференциального уравне­ния у' = f(x, y) на отрезке [a; b] при заданном начальном условии и шаге интегрирования h.

Задание 1.1. Методом Эйлера с применением «ручных» вычис­лений с шагом 2 h, а также с помощью табличного процессора Excel с шагом h. Свести результаты вычисления в одну таблицу и сопо­ставить точность полученных значений функции. Пользуясь таб­лицей, сделать ручную прикидку графика интегральной кривой на бумаге.

Задание 1.2. Методом Рунге —Кутта с помощью табличного процессора Excel с шагом h и шагом h /2. На основе результатов двой­ного счета сделать вывод о точности полученного решения. Сравнить между собой результаты вычислений по методу Эйлера и методу Рунге-Кутта. Предус­мотреть вывод полученных решений в виде таблиц и графиков (см. табл. 6.2).

Исходные данные для задания содержатся в табл. 6.3.

Пояснения к выполнению лабораторной работы № 6

Первая часть задания (метод Эйлера) выполняется двумя спо­собами: с помощью ручных вычислений (например, с помощью калькулятора) и с помощью табличного процессора Excel. Результаты ручных и машинных вычислений вносятся в одну таб­лицу (см. табл. 6.1). Значения искомой функции в соответствую­щих узлах сравниваются между собой и составляется представле­ние о точности полученного результата. По вычисленной табли­це функции строится точечный график и проводится плавная кривая.

По второй части задания производится расчет с помощью табличного процессора Excel — для шага h и шага h /2 (на одном и том же отрезке интегрирования [a; b]. Путем сравнения полученных значений делается вывод о точности результата, ко­торая сопоставляется с точностью интегрирования по методу Эй­лера.

Для оценки погрешности используется полуэмпирическая фор­мула (6.21).

Варианты заданий.

Таблица 6.3.

Вариант	у' = f(x, y)	а	b	c	h
		24, 00	5, 00	0, 70	0, 10
		2, 60	4, 60	1, 80	0, 20
		-1, 00	1, 00	0, 20	0, 20
		2, 00	3, 00	1, 20	0, 10
		0, 00	0, 50	0, 30	0, 05
		1, 00	2, 00	0, 90	0, 10
		0, 60	2, 60	3, 40	0, 20
		1, 50	2, 00	2, 10	0, 05
		2, 10	3, 10	2, 50	'0, 1
		3, 00	5, 00	1, 70	0, 20
		1, 00	3, 00	1, 50	0, 20
		1, 00	2, 00	0, 90	0, 10
		2, 00	3, 00	2, 30	0, 10
		0, 10	0, 50	1, 25	0, 05
		-2, 00	-1, 00	3, 00	0, 10
		0, 00	2, 00	2, 90	0, 20
		1, 50	2, 50	0, 50	0, 10
		1, 50	2, 00	1, 40	0, 05
		0, 00	0, 50	2, 60	0, 05
		1, 00	3, 00	1, 80	0, 20

Контрольные вопросы.

1. В какой форме получается приближенное решение дифференциального уравнения по методу Эй­лера?

2. Что можно сказать о динамике погрешности в пошаговом методе Эйлера?

3. В чем состоят преимущества метода разложения в степенной ряд по сравнению с методом Эйлера.

4. В чем различие одношаговых методов Эйлера и Рунге-Кутта? Как это различие можно охарактеризовать с графической точки зрения?

5. Как можно реализовать эмпирический критерий оценки точности решения дифференциальных уравнений применительно к численным методам Эйлера и Рунге-Кутта?