Загальна схема дослідження і побудови графіка функції.

На підставі результатів, викладених у попередніх параграфах, можна сформулювати наступну загальну схему дослідження та побудови графіка функції .

1. Знайти – область визначення функції .

2. Знайти точки перетину графіка функції з осями координат. Для знаходження точки перетину з віссю (вона, якщо є, то єдина) треба знайти значення , а для знаходження точок перетину з віссю , треба знайти нулі функції, тобто розв’язати рівняння .

3. Дослідити функцію на парність, непарність і періодичність. Якщо функція парна (тобто ), або непарна (тобто ), то достатньо побудувати її графік лише у правій півплощині, а потім відобразити симетрично відносно осі (у випадку парної функції), або відносно початку координат (у випадку непарної функції). Якщо функція періодична з періодом , то достатньо побудувати її графік на будь якому проміжку довжини (наприклад ), а потім повторити цей графік на решті проміжків довжини . Зрозуміло, що якщо функція -періодична і водночас парна або непарна, то доцільно побудувати її графік на проміжку .

4. Знайти асимптоти графіка функції.

5. Знайти інтервали монотонності і точки екстремуму.

6. Знайти інтервали опуклості та вгнутості та точки перегину.

7. Побудувати графік.

Розглянемо декілька прикладів.

Приклади.

1. .

1). Область визначення .

Функція визначена на всій числовій прямій за виключенням точки . Тому .

2). Точки перетину з осями координат.

При : , отже точка перетину з віссю : .

Розв’яжемо рівняння:

.

Це рівняння не має дійсних коренів, отже графік функції не перетинає вісь .

3). Парність, непарність, періодичність.

Функція не є ні парною, ні непарною, ні періодичною (перевірте самостійно), тобто маємо функцію загального вигляду.

4). Асимптоти.

А). Вертикальні асимптоти.

Оскільки функція не визначена в точці , то в цій точці можливо наявність вертикальної асимптоти. Знайдемо:

,

.

Тобто пряма є вертикальною асимптотою.

Б). Похилі асимптоти.

Знайдемо

,

.

Отже пряма є правою похилою асимптотою. Неважко переконатися, що та ж сама пряма є й лівою похилою асимптотою.

5). Проміжки монотонності та точки екстремуму.

Знайдемо:

.

Цей вираз перетворюється на нуль в точках і не визначений в точці . Це й є критичні точки I роду. Складемо таблицю:

	+		–	не існує	–		+

Точка є точкою максимуму (в ній ), а точка є точкою мінімуму (в ній ). Звернемо увагу, що значення функції в точці максимуму з’явилося меншим, ніж значення функції в точці мінімуму, що, як ми знаємо, не суперечить означенню максимуму та мінімуму.

6). Проміжки опуклості та вгнутості та точки перегину.

Знайдемо:

(перевірте самостійно).

Цей вираз ніде не дорівнює нулю, але його не визначено в точці . Це критична точка II роду. Складемо таблицю:

	опукла		вгнута
	–	не існує	+

Тобто на функція опукла, а на – вгнута.

7). Графік.

Рис. 36.

2. .

1). Область визначення.

2). Точки перетину з осями координат

:

: .

3). Парність, непарність, періодичність.

Функція загального вигляду.

4). Асимптоти.

Вертикальних нема, оскільки наша функція неперервна на всій числовій прямій. Дослідимо похилі. Знайдемо:

, тобто правої похилої асимптоти нема. Аналогічно показуємо, що нема і лівої. Таким чином асимптоти у даної функції відсутні взагалі.

5). Проміжки монотонності та точки екстремуму.

Знайдемо:

.

Похідна перетворюється на нуль в точці і не існує в точці . Складемо таблицю:

	–	не існує	+		–

6). Проміжки опуклості та вгнутості та точки перегину.

.

Звідси видно, що критичними точками II роду є точки і .

	вгнута	перегин	опукла		опукла
	+		–	не існує	–

7). Графік

Рис. 37.

3. .

1). Область визначення .

2). Точки перетину з осями координат.

: ; .

З віссю точок перетину нема, оскільки .

3). Парність, непарність, періодичність.

Дана функція загального вигляду. Але можна звести її дослідження до дослідження парної функції, якщо зробити наступне перетворення:

.

Звідси видно, що достатньо побудувати графік парної функції , а потім зсунути його на 3 одиниці вправо. Тому далі будемо досліджувати саме функцію . Її графік перетинає вісь в точці .

4). Асимптоти.

Вертикальні асимптоти відсутні, оскільки функція неперервна на всій числовій прямій. Дослідимо на похилі, причому внаслідок парності функції достатньо дослідити лише праву похилу асимптоту.

,

.

Отже пряма є правою похилою (у даному випадку горизонтальною) асимптотою.

5). Проміжки монотонності та точки екстремуму.

.

Єдиною критичною точкою I роду є точка . При : , отже на проміжку функція спадає.

6). Проміжки опуклості та вгнутості та точки перегину.

.

Звідси видно, що на правій півосі єдиною критичною точкою II роду є точка . Складемо таблицю:

	опукла	перегин	вгнута
	–		+

7). Побудуємо спочатку графік функції .

Рис. 38.

А тепер побудуємо графік функції , зсунувши графік функції на 3 одиниці вправо.

Рис. 39.

Функції такого типу відіграють важливу роль в теорії ймовірностей і математичній статистиці та носять назву кривих Гаусса^*. Вони тісно пов’язані з так званим нормальним розподілом випадкових величин, яке має дуже велике значення в статистичних дослідженнях. А в статистичній фізиці така функція використовується у відомому розподілі Максвелла молекул за швидкостями.

4. .

1). Область визначення.

Вираз, що стоїть під знаком логарифму, повинен бути додатним, отже:

.

Розв’язком цієї нерівності є об’єднання інтервалів вигляду

, де – ціле.

2). Точки перетину з осями координат.

З віссю точок перетину нема, оскільки точка не входить в . Знайдемо точки перетину з віссю , для чого розв’яжемо рівняння:

.

Тоді ( – ціле), тобто вісь перетинається в точках .

3). Парність, непарність, періодичність.

Дана функція є періодичною з періодом і, крім того, є парною. Тому достатньо побудувати графік функції лише на відрізку , а з урахуванням – на півінтервалі .

4). Асимптоти.

Функція може мати лише вертикальні асимптоти, оскільки досліджується на скінченому проміжку, а похила асимптота пов’язана з прямуванням до нескінченності. Вертикальна асимптота можлива в точці .

Розглянемо

.

Таким чином пряма – вертикальна асимптота.

5). Проміжки монотонності та точки екстремуму.

Маємо:

, отже функція зростає на .

6). Проміжки опуклості та вгнутості та точки перегину.

Знайдемо

, отже функція опукла в усій області визначення.

7). Графік.

Рис. 40.