Задачі що приводять до поняття похідної.

Диференціальне числення функцій однієї змінної.

Автори:

Щоголев С. А., доктор фізико-математических наук, професор кафедри вищої математики, доцент

Грибняк С. Т., кандидат фізико-математичних наук, доцент кафедри вищої математики, доцент

Рецензенти.

Попов В. Г. – доктор фізико-математичних наук,

завідуючий кафедрою вищої математики Одеської національної

морської академії, професор

Плотніков А. В. – доктор фізико-математичних наук,

завідуючий кафедрою прикладної та обчислювальної

математики і САПР Одеської державної академії

будівництва та архітектури, професор

Григор’єв Ю. О. – кандидат фізико-математичних наук,

доцент кафедри вищої та прикладної математики

Одеського національного морського університету, доцент

Навчально-методичний посібник написано відповідно до навчальної програми дисципліни «Математичний аналіз» для підготовки бакалаврів, спеціалістів та магістрів за спеціальностями «фізика», «прикладна фізика», «астрономія».

Посібник містить основні поняття, методи, теореми та формули, багато розв’язаних типових задач, а також завдання для самостійної роботи студентів.

Рекомендовано науково-методичною радою ОНУ імени І. І. Мечникова (протокол № 1 от 24.10.2013).

Задачі що приводять до поняття похідної.

Диференціальне числення – це розділ математики, в якому вивчається дослідження функцій за допомогою нескінченно малих (див. розділ «Вступ до аналізу»).

Деякі задачі диференціального числення було поставлено та розв’язано ще у стародавні часи. Але загальні методи були розроблені І. Ньютоном та Г. Лейбніцем у XVII ст. А у XIX ст. у працях О. Коші, К. Вейєрштрасса та ін. було дано обґрунтування цих методів на підставі теорії границь.

Центральним поняттям диференціального числення являється поняття похідної. Розглянемо декілька задач, які приводять до цього поняття.

1. Задача про дотичну до графіка функції.

Розглянемо деяку криву лінію (рис. 1) і візьмемо на цій кривій точки і . Пряму , яка проходить через ці точки, називають січною. Тепер припустимо, що точка починає рухатись вздовж кривої , наближаючись

до точки . Відстань прямуватиме до нуля.

Рис. 1.

Граничне положення січної називається дотичною до кривої у точці .

Розглянемо тепер графік деякої функції і візьмемо на ньому точку (рис.2). Надамо значенню приріст і відмітимо на графіку точку . Функція отримає приріст . Проведемо через точки і січну . Кут , величину якого позначимо через – це гострий кут у прямокутному трикутнику , де точка має координати . З відомих співвідношень у прямокутному трикутнику маємо:

.

Нехай тепер . Тоді точка , рухаючись вздовж графіка функції, прямує до точки , і січна , повертаючись навколо точки , переходить в дотичну . Кут при цьому прямує до деякого граничного положення . Тобто можемо записати:

.

Тоді, оскільки функція неперервна при , отримаємо, що кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює:

.

Рис. 2.

Отриману границю називають похідною функції у точці . Нижче ми побачимо, що до таких самих границь приводять і багато інших задач.

2. Задача про миттєву швидкість точки.

Нехай матеріальна точка рухається вздовж деякої координатної прямої (рис. 3).

Рис. 3.

Позначимо через – координату точки у момент часу . Нехай за проміжок часу точка пройшла відстань . Тоді середня швидкість точки на протязі проміжку часу дорівнює:

.

Але це саме середня швидкість. Разом з цим на протязі часу точка може рухатися нерівномірно: спочатку, наприклад, швидко, потім повільно, а певний час взагалі стояти на одному місці, потім знову швидко (приблизно так відбувається рух транспорту по міським вулицям). Таким чином середня швидкість не є достатньо адекватною характеристикою руху. Тому часто виникає задача знаходження швидкості не на протязі якогось проміжку часу, а в будь який момент часу, тобто так званої миттєвої швидкості. Як її можна знайти? Як границю значення середньої швидкості при прямуванні проміжку до нуля, тобто:

.

Як бачимо, з точністю до позначень вийшла точно така сама границя, що й у задачі про дотичну, тобто виникла та ж сама похідна.

3. Задача про густину неоднорідного стрижня.

Розглянемо тонкий прямолінійний стрижень довжини (рис. 4) і розмістимо його на осі так, щоб лівий його кінець збігався з початком координат. Будемо вважати стрижень неоднорідним, тобто його густина не є сталою, а змінюється від точки до точки.

Рис. 4.

Позначимо через масу частини стрижня, що розташована між початком координат і точкою з координатою . Розглянемо точку з координатою . Тоді маса частини стрижня між точками та :

.

Середньою густиною стрижня на відрізку називають відношення:

.

Лінійною густиною стрижня у точці називають границю

, тобто знову прийшли до тієї ж похідної.

4. Задача про швидкість хімічної реакції.

Нехай – кількість речовини, що вступає в хімічну реакцію у момент часу . За проміжок часу довжиною ця кількість змінилася і дорівнює тепер . Середньою швидкістю реакції за проміжок часу називається відношення:

.

Границя середньої швидкості при є швидкість реакції у момент часу :

.

Легко помітити, що знову виникає похідна.

5. Задача про інтенсивність виробництва.

Нехай – обсяг виробництва деякої галузі промисловості у момент часу . За проміжок часу цей обсяг змінюється і становить . Приріст обсягу виробництва дорівнює .

Середньою інтенсивністю виробництва називається відношення:

.

Інтенсивність виробництва у момент часу знайдеться як границя середньої інтенсивності при , тобто:

.

І знову та ж сама похідна.

Отже ми навели декілька прикладів – з геометрії, фізики, хімії, економіки. І всі вони привели до одного й того поняття – похідної. Існує ще ціла низка задач, які приводять до того ж поняття. Це добре ілюструє факт універсальності математичних понять і методів: різнорідні за своєю природою реальні процеси можуть описуватись одною й тою ж математичною моделлю. У цьому, зокрема, полягає сила математики. Як зауважив видатний французький математик Анрі Пуанкаре, «математика – це мистецтво давати різним речам одне й те ж найменування».