Вправи для самостійного розв’язування.

1. Знайти область визначення функції та зобразити її на рисунку?

1) ; 2) ;

3) ; 4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) .

2. Побудувати лінії рівня функції.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;

6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) .

3. Знайти границі функції.

1) , де

2) ; 3) ;

4) ; 5) .

4. Знайти частинні похідні 1-го порядку за кожною з незалежних змінних.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ;

8) ; 9) ; 10) ;

11) ; 12) ; 13) ;

14) ; 15) ;

16) ; 17) ; 18) ;

19) ; 20) .

5. Показати, що функція задовольняє диференціальне рівняння з частинними похідними.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

6. Знайти повний диференціал 1-го порядку функції.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) .

7. Обчислити наближено.

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

8. Обчислити визначники.

1) , де ;

2) , де ;

3) , де ;

4) , де .

9. Знайти .

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ;

10) .

10. Знайти та .

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) .

11. Знайти похідну від функції, заданої неявно.

1) ; 2) ;

3) ; 4) ; 5) ;

6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) .

12. Знайти градієнт функції в точці , його довжину та напрям, і похідну цієї функції в точці за напрямом вектора .

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) , .

13. Скласти рівняння дотичної площини та рівняння нормалі до заданої поверхні у точці .

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

14. Знайти диференціал другого порядку від функції.

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) , 6) .

15. Показати, що функція задовольняє диференціальне рівняння з частинними похідними.

1) ;

2) ;

3) , де – довільні двічі диференційовні функції; .

16. Розкласти функцію за формулою Тейлора в околі точки .

1) ; ;

2) ; обмежитись доданками до 4-го порядку включно відносно ;

3) ;

4) ;

5) .

17. Дослідити на екстремум функцію.

1) ; 2) ;

3) ; 4) ; 5) .

18. Знайти найбільше та найменше значення функції на множині , яку обмежено лініями.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

19. Розв’язати наступні екстремальні задачі.

1) Визначити розміри відкритого прямокутного ящика заданого об’єму так, щоб він мав найменшу площу поверхні.

2) Подати додатне число у вигляді добутку трьох множників так, щоб сума цих множників була найменшою.

3) Знайти найменшу відстань між точками параболи та прямої .

4) Визначити розміри циліндра найбільшого об’єма, якщо плоша його повної поверхні дорівнює .

5) Робота деформації рами дається формулою:

, де – стала навантаження, – вертикальна та горизонтальна реакції опори, – довжина, – модуль пружності, – момент інерції. Якими повинні бути величини і , щоб робота була найменшою?

20. Розв’язати задачі на умовний екстремум.

1) .

2) .

3) .

4) З усіх прямокутних паралелепіпедів, сума довжин ребер яких дорівнює , знайти паралелепіпед найбільшого об’єму.

5) Намет має форму циліндра, завершеного прямою конічною верхівкою. При заданому об’ємі намету визначити його розміри так, щоб для його виготовлення було витрачено найменше матеріалу.

21. Методом найменших квадратів побудувати залежність вигляду за наведеними у таблиці значеннями величин та .

		0, 5	1, 0	1, 5	2, 0	2, 5	3, 0	3, 5	4, 0	4, 5	5, 0
	1, 0	1, 5	2, 0	2, 5	3, 0	3, 5	4, 0	4, 5	5, 0	5, 5	6, 0

Рекомендована література.