Найменших квадратів.

При проведенні експериментальних досліджень часто виникає необхідність за результатами вимірів встановити функціональну залежність однієї величини від іншої величини . Загальний вигляд такої залежності, як правило, припускається відомим, але її конкретний вираз визначається певним набором числових параметрів, які є невідомими. І задача полягає в тому, щоб наближено визначити ці параметри, користуючись експериментальними даними.

Нехай експериментально отримано значень величини при відповідних значеннях величини :

Загальний вигляд функціональної залежності між величинами та встановлюється з теоретичних міркувань, або на підставі розташування на координатній площині точок . Нехай, наприклад, ці точки розташовано так, як показано на рис. 16.

Рис. 16.

Тоді функцію природно вважати лінійною: . При цьому параметри є невідомими. Нехай тепер точки розташовано так, як показано на рис. 17.

Рис. 17.

Тоді функцію природно вважати степеневою: . Параметри знову ж є невідомими.

Припустимо, що функція залежить від невідомих параметрів , тобто має вигляд:

. (21.1)

Нашою задачею буде визначити ці параметри таким чином, щоб функція (21.1) якомога краще узгоджувалася з експериментальними даними, що наведено у таблиці. Поширеним методом розв’язання цієї задачі є метод найменших квадратів. Полягає він у наступному. Розглянемо функцію

.

Ця функція буде характеризувати степінь розбіжності між експериментальними значеннями величини та теоретичними, які обчислено на підставі функції (21.1). Параметри підбираються так, щоб функція набула найменшого значення. Звідси й назва методу – сума квадратів відхилень теоретичних значень від експериментальних має бути найменшою.

Таким чином ми отримуємо задачу про знаходження мінімуму функції .

На підставі теореми про необхідні умови екстремуму значення повинні задовольняти систему рівнянь:

. (21.2)

Або у розгорнутому вигляді:

(21.3)

Таким чином отримали систему рівнянь з невідомими. В залежності від конкретного вигляду функції досліджується питання про розв’язки цієї системи.

Розглянемо випадок, коли функція лінійна, тобто . Функція у цьому випадку має вигляд:

.

Звідси:

Або:

(21.4)

Отримали систему двох лінійних алгебраїчних рівнянь з двома невідомими . Можна довести, що її визначник відмінний від нуля, і розв’язок системи (21.4) є саме точкою мінімуму функції .

Приклад. Нехай на підставі експерименту отримано наступні пари значень величин та :

			2, 5	0, 5

Шукаємо функцію у вигляді . Система (21.4) набуває вигляду:

Розв’язуючи цю систему, знаходимо: . Шукана залежність така:

.

Розташування точок та графік побудованої лінійної залежності показано на рис. 18.

Рис. 18.

Контрольні питання.