Умовний екстремум.

У багатьох задачах на найбільше та найменше значення функції питання зводиться до знаходження екстремумів функцій від таких декількох змінних, які не є цілком незалежними, а пов’язані деякими додатковими співвідношеннями. Зокрема, такого типу задачею є й задача знаходження найбільшого та найменшого значень функції на замкненій та обмеженій множині (змінні припускаються такими, що відповідна точка належить цій множині). Змінні також можуть бути такими, що задовольняють деякі рівняння. Тоді ми отримуємо задачу на так званий умовний екстремум.

Нехай на відкритій множині задано функції , причому . Нехай – множина точок множини , що задовольняють систему рівнянь:

. (20.1)

Рівняння (20.1) будемо називати рівняннями зв’язків.

Означення. Точка називається точкою умовного мінімуму (максимуму) функції за наявності зв’язків (20.1), якщо існує такий окіл , що для всіх виконано: .

Точки умовного мінімуму та максимуму функції називаються точками умовного екстремуму функції.

Припустимо, що з системи (20.1) можна виразити які-небудь змінних через решту змінних. Тоді, підставивши замість змінних їх вирази через решту змінних, отримаємо функцію від змінних. І тоді маємо задачу знаходження звичайного (безумовного) екстремуму функції , яка залежить від змінних.

Приклад. Знайти точки умовного екстремуму функції , якщо .

Рівняння зв’язку легко розв’язується відносно : . Підставимо цей вираз у функцію :

.

Таким чином отримали задачу на звичайний екстремум функції однієї змінної . Легко перевіряємо, що ця функція має максимум при . Якщо , то . Таким чином точка є точкою умовного максимуму функції за наявності зв’язку , причому .

У загальному випадку розв’язати систему (20.1) відносно частини змінних вдається далеко не завжди, тому для знаходження умовного екстремуму частіше використовується інший метод, а саме метод множників Лагранжа.

Розглянемо функцію змінних:

, де , . Числа називаються множниками Лагранжа, а функція – функцією Лагранжа.

Означення. Точка називається стаціонарною точкою функції Лагранжа, якщо

,

.

Складемо матрицю:

.

Позначимо:

(тобто диференціал 2-го порядку функції у точці , якщо його обчислювати лише за змінними , вважаючи сталими.

Далі позначимо:

.

Теорема (достатні умови умовного екстремуму). Нехай функції мають в околі точки неперервні частинні похідні 2-го порядку, причому , і нехай є стаціонарною точкою функції Лагранжа .

Тоді, якщо при , то є точкою умовного мінімуму функції за наявності зв’язків (20.1). Якщо при , то є точкою умовного максимуму функції за наявності зв’язків (20.1). Якщо при диференціал може бути як додатним, так й від’ємним, то не є точкою умовного екстремуму за наявності зв’язків (20.1).

Доведення теореми ми тут не наводимо.

Приклад 1. Знайти екстремуми функції за умови .

Складемо функцію Лагранжа:

.

Знайдемо стаціонарні точки функції Лагранжа, для чого розв’яжемо систему рівнянь:

,

.

З перших трьох рівнянь маємо:

.

Підставляючи у четверте рівняння, отримуємо:

, звідки . Таким чином функція Лагранжа має дві стаціонарні точки

.

Складемо 2-й диференціал функції Лагранжа за змінними . Маємо:

,

,

.

Таким чином:

.

Для точки маємо: , а для точки : . Отже при отримуємо: , . Тому – точка умовного максимуму, а – точка умовного мінімуму.

Приклад 2. Згідно принципу Ферма, світло, яке виходить з точки і потрапляє в точку , поширюється по кривій, для проходження якої потрібно мінімум часу. Припускаючи, що точки і розташовані в різних оптичних середовищах, розділених площиною, причому швидкість поширення світла у першому середовищі дорівнює , а у другому – , отримати закон заломлення світла.

Нехай – час проходження світла в першому середовищі, – в другому. Тоді (рис. 15):

Рис. 15.

.

Таким чином, треба дослідити на екстремум функцію:

за умови, що

.

Складемо функцію Лагранжа:

та знайдемо її стаціонарну точку:

Звідси:

. (20.2)

Знайдемо другий диференціал функції Лагранжа за змінними :

.

Внаслідок (20.2) в стаціонарній точці маємо:

.

Отже функція має умовний мінімум, якщо виконується рівність:

.

Це й є закон заломлення світла.

Задачі на екстремум функцій за наявності обмежень є досить поширеними. Теорія екстремальних задач інтенсивно розвивається, їй присвячено численні дослідження, вона знаходить широке коло застосувань. Метод множників Лагранжа має глибокі узагальнення, зокрема, на випадки, коли обмеження задаються системою нерівностей. В конкретних прикладних задачах множники Лагранжа мають змістовну інтерпретацію. В механіці ними задаються реакції зв’язків, в економіці – ціни на продукти виробництва, тощо.