Означення функції багатьох змінних.

Нехай – множина точок простору , відкрита або замкнена.

Означення. Якщо кожній точці множини за певним законом поставлено у відповідність одне й тільки одне дійсне число , то кажуть, що на множині задано функцію .

Змінні називаються незалежними змінними або аргументами, а змінна – залежною змінною, або функцією. Множина називається областю визначення функції та позначається . Множина значень функції позначається .

У випадку ми отримуємо функцію 2-х змінних: . Або, як ми частіше будемо писати, , або . Областю визначення функції 2-х змінних є деяка множина точок на площині . У випадку отримуємо функцію 3-х змінних: , або . Областю визначення функції 3-х змінних є деяка множина точок у просторі .

Приклади.

1. Знайти область визначення функції .

Областю визначення цієї функції є множина точок площини, координати яких задовольняють нерівність , тобто . Такою множиною є круг радіусу з центром у початку координат.

2. Знайти область визначення функції

.

Областю визначення цієї функції є множина точок простору, координати яких задовольняють нерівність

.

Таким чином має бути: , . Це множина точок простору, яка розташована між конусами та , включаючи самі ці конуси крім їх спільної вершини – початку координат.

Як відомо, геометричним зображенням функції однієї змінної є графік цієї функції, тобто лінія на площині , координати кожної точки на якій пов’язані співвідношенням .

Розглянемо функцію 2-х змінних , яку визначено на множині площини , і прямокутну декартову систему координат простору .

Означення. Графіком функції називається геометричне місце точок простору з координатами .

З курсу аналітичної геометрії відомо, що рівняння визначає у просторі деяку поверхню. Таким чином, графіком функції двох змінних є поверхня , яка проектується на площину у множину (рис. 3).

Рис. 3.

Наприклад, графіком функції є параболоїд обертання (рис. 4).

Аналогічно визначається графік функції змінних у випадку . Це множина точок простору , координати яких мають вигляд . Але наглядну геометричну інтерпретацію у цьому випадку надати неможливо.

Розглянемо знову функцію 2-х змінних .

Рис. 4.

Означення. Лінією рівня функції називається множина точок площини , для яких функція зберігає одне й те ж значення, тобто множина точок, координати яких задовольняють рівність , де – стала.

Лінія рівня функції є не що інше, як проекція на площину лінії перетину поверхні , яка є графіком функції , з площиною (рис. 5).

Рис. 5.

Приклад. Лініями рівня функції є концентричні кола з центром у точці (0, 0). Кожне коло відповідає певному значенню сталої . Значенню відповідає точка (0, 0) (рис. 6).

Рис. 6.

Лінії рівня функції 2-х змінних знаходять численні застосування, зокрема, у картографії. Це лінії, які пов’язують точки на земній поверхні з однаковим певним показником. Наприклад, горизонталі пов’язують точки з однаковою висотою над рівнем моря, ізотерми пов’язують точки з однаковою температурою, ізобари – точки з однаковим тиском тощо.

Аналогічне поняття можна ввести для функції трьох і більшого числа змінних. Для функції 3-х змінних поверхнею рівня називається множина точок простору , для яких функція зберігає одне й те ж значення, тобто координати яких задовольняють нерівність , де – стала. Наприклад, для функції поверхнями рівня є сфери радіусу з центром у точці . Для функцій більшого числа змінних наглядну геометричну інтерпретацію надати неможливо.