Наближене розв’язування рівнянь.

I. Інтерполяція функцій.

В розділі «Вступ до аналізу» ми розглядали різні способи задання функції і серед них табличний спосіб. Він полягає у тому, що задаються значення функції у вибраних точках :

Тут

І ми відмічали, що один з недоліків цього способу полягає у тому, що неможливо без додаткової інформації про властивості функції знайти її значення при тих значеннях аргументу , які не входять до таблиці. Разом з цим при використанні таблиць при розв’язанні практичних задач, у тому числі і в галузі географії, часто виникає саме така проблема. І тоді доводиться користуватися таким наближеним методом, як інтерполяція. Суть його полягає в тому, що замість значення функції у проміжних точках шукають значення в цих точках деякого полінома степеня такого, що значення його в точках, що входять до таблиці, співпадають зі значеннями функції, тобто (рис. 49).

Рис. 49

Таким чином задача полягає в побудові такого полінома.

Спочатку розв’яжемо більш просту задачу. Побудуємо поліноми степеня такі, що

.

Якщо ми зможемо це зробити, то шуканий поліном запишеться у вигляді:

.

Дійсно, тоді .

Оскільки поліном має своїми коренями числа , його можна подати у вигляді:

.

Оскільки , то , отже

.

Тоді

.

Отже шуканий поліном приймає вид:

.

Цей поліном називається інтерполяційним поліномом Лагранжа.

Розглянемо частинні його випадки.

1. . Тоді в таблиці лише дві точки з відповідними значеннями функції . Поліном Лагранжа буде 1–го степеня, тобто лінійна функція:

.

2. . В таблиці три точки з відповідними значеннями функції . Поліном Лагранжа буде 2–го степеня, тобто квадратний тричлен:

.

3. . В таблиці 4 точки з відповідними значеннями функції . Поліном Лагранжа 3–го степеня:

.

Приклад. За табличними значеннями функції

	1, 0000	1, 0414	1, 0792	1, 1139

наближено знайти .

Скористаємось поліномом Лагранжа 3–го степеня і знайдемо його значення в точці 11, 3.

.

Точне до 5 знаків після коми значення: 1, 05308.

II. Наближене розв’язування рівнянь.

Нехай треба знайти корінь рівняння

.

З геометричної точки зору це означає, що графік функції проходить через точку осі .

Припустимо, ми знайшли такий відрізок , що , і . Тобто корінь належить відрізку , та інших коренів рівняння цей відрізок не містить.

Будемо вважати, що функція має на відрізку неперервні похідні до 2–го порядку включно, і ці похідні зберігають знак на . Тоді функція монотонна на відрізку , і в точках , приймає значення різних знаків. Припустимо для визначеності, що , на . Тоді функція зростаюча і вгнута на відрізку .

1. Метод січних. Проведемо через точки і пряму лінію (січну). Її рівняння:

.

Поклавши тут , дістанемо:

.

Це точка перетину січної з віссю .

Тепер візьмемо точку і проведемо січну . Точка її перетину з віссю :

.

Продовжуючи так далі, отримаємо:

…

.

Тобто отримуємо послідовність точок перетину січних з віссю (рис. 50).

Рис. 50

Ця послідовність монотонно зростає і обмежена зверху, отже вона збіжна. Можна довести, що . У якості наближеного значення кореня беруть елемент цієї послідовності з достатньо великим номером :

.

2. Метод дотичних.

Проведемо дотичну до графіка функції в точці . Її рівняння:

.

Поклавши тут , знайдемо точку перетину цієї дотичної з віссю :

.

Тепер проведемо дотичну до графіка функції в точці :

.

Її точка перетину з віссю :

. Продовжуючи так далі, дістанемо:

.

Внаслідок знову отримуємо послідовність, яка (як можна довести) збігається до кореня рівняння (рис. 51).

Рис. 51

Приклад. Методом дотичних знайти наближено корінь рівняння

.

На відрізку міститься тільки один корінь нашого рівняння. Знайдемо:

на .

Маємо:

,

,

,

.

.

ЗМІСТ

Передмова ………………………………………………………………2

Література ……………………………………………………………….3

Лекція 1. Задачі, що приводять до поняття похідної…………………4

Лекція 2. Диференційовність функції в точці, її зв’язок з неперерв-

ністю. Правила диференціювання………………………….10

Лекція 3. Похідна складної та оберненої функції.

Похідні основних елементарних функцій………………….18

Лекція 4. Логарифмічне диференціювання. Приклади на техніку

диференціювання. Параметрично та неявно задані функції

та їх диференціювання……………………………………….29

Лекція 5. Диференціал функції, його застосування до наближених

обчислень. Рівняння дотичної до графіка функції. Похідні

та диференціали вищих порядків……………………………37

Лекція 6. Основні теореми диференціального числення.

Правило Лопіталя……………………………………………..46

Лекція 7. Формула Тейлора……………………………………………...58

Лекція 8. Застосування диференціального числення для дослідження

та побудови графіка функції…………………………………68

Лекція 9. Застосування диференціального числення для дослідження

та побудови графіка функції (продовження)………………. 75

Лекція 10. Загальна схема дослідження та побудови графіка функції.83

Лекція 11. Найбільше та найменше значення функції………………...91

Лекція 12. Інтерполяція функцій. Наближене розв’язування рівнянь..96

* Тейлор Брук (1685–1731) – англійський математик.

* Маклорен Колін (1698–1746) – шотландський математик. Працював у галузі аналізу і геометрії.

** Пеано Джузеппе (1858–1932) – італійський математик. Працював у галузі аналізу, алгебри та геометрії.

*** Г.М.Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1. М.: 1969. – С.255–257.

* Гаусс Карл Фридрих (1777–1855) – видатний німецький математик