Для дослідження і побудови графіка функції.

Диференціальне числення дає змогу ефективно досліджувати властивості функцій, їх поведінку, будувати графіки функцій. Теоретичні основи цього застосування подаються у вигляді наступних теорем.

I. Інтервали монотонності функції.

Нагадаємо, що монотонною ми називаємо таку функцію, яка належить до одного з наступних класів: зростаючі, спадні, незростаючі, неспадні (див. розділ «Вступ до аналізу»). Одна й та ж функція на одних інтервалах може бути зростаючою, а на інших спадною. Тому важливою є задача виявлення інтервалів монотонності, тобто інтервалів зростання або спадання функції.

Теорема (достатня умова зростання (спадання) функції). Якщо функція диференційовна на інтервалі , виконана нерівність , то функція зростає (спадає) на інтервалі .

Доведення. Припустимо для визначеності, що . Розглянемо два довільних значення таких, що . Згідно з теоремою Лагранжа, між точками знайдеться точка така, що буде виконана рівність:

.

Оскільки і , то , або , тобто функція зростає на , що й треба було довести.

Зауваження. Обернене твердження несправедливе, тобто з того, що функція зростає (спадає) на інтервалі , не випливає, що . Дійсно, розглянемо функцію на інтервалі . Вона є зростаючою на цьому інтервалі (і взагалі на всій числовій прямій), але .