Метод Эйлера.

Сущность методов численного решения ОДУ можно интерпретировать с помощью различных подходов. Рассмотрим их более подробно на примере простейшего численного метода – метода Эйлера, применительно к решению задачи Коши для одного уравнения вида

(4)

Наиболее наглядные представления о конструировании численных методов можно получить для данного класса задач на основе представления решения отрезком степенного ряда:

, . (5)

Выражение (5) дает точное значение решения уравнения (4). Из постановки задачи мы знаем решение в точке , а правая часть уравнения позволяет вычислить производную решения в данной точке. В итоге, полагая ограниченность второй производной решения на отрезке , имеем

. (6)

где, , .

Заметим, что выражение (6) также дает точное значение решения в точке . Однако, мы не можем использовать его в практических расчетах, поскольку для этого требуется значение второй производной от решения, содержащейся в члене , в некоторой точке отрезка . Принципиальным затруднением для точных расчетов является то, что мы не располагаем информацией о второй производной от решения и не знаем точное положение точки, в которой требуется вычислить данную производную. Простейший выход из затруднений состоит в возможности пренебречь данным членом, учитывая, что при ограниченной второй производной величина данного члена стремиться к нулю при . Таким образом, мы приходим к схеме Эйлера, позволяющей найти приближенно шаг за шагом решение задачи Коши.

(7)

Используя формулу Эйлера (7) мы можем последовательно найти приближенно решение задачи Коши на некотором множестве точек, соответствующих значениям независимой переменной

. (8)

Особенность всех численных методов состоит в том, что, в отличие от аналитических методов они носят дискретную природу. В данном случае результатом численного интегрирования является не искомая функция, а лишь ее приближенные значения в конечном числе точек.

Упорядоченное множество точек вида (8), в которых находится приближенное решение дифференциальной задачи, принято называть сеткой. Отдельные точки сетки называют узлами.Шагом сетки называется расстояние между соседними узлами . Если все шаги сетки одинаковы, то сетка называется равномерной (однородной). Множество значений функции, определяемых в узлах сетки, называется сеточной функцией. Сеточные функции не обязательно являются результатом приближенного (численного) решения дифференциальной задачи. Точное решение задачи, например, если оно может быть выражено в виде элементарных или специальных функции, также может быть представлено в виде набора значений данной функции в узлах сетки, т.е. в виде сеточной функции.

Сеточные функции могут рассматриваться как некоторые векторы конечной размерности. Для сравнения сеточных функций и оценок их близости естественно воспользоваться аппаратом функционального анализа, рассматривая их как элементы некоторого линейного векторного пространства с определенной нормой.

На примере метода Эйлера выясним вопрос о точности численных методов решения задачи Коши. Для этого рассмотрим пространство сеточных функций с нормой

. (9)

Здесь и далее и – значения сеточных функций, соответствующих точному и приближенному решениям в -м узле сетки: . Норма (9) характеризует максимальное отклонение приближенного решения от точного значения на всем множестве узлов сетки, что принято рассматривать как глобальную погрешность численного метода. Для оценки точности численных методов может быть использована не только норма вида (9), но и другие нормы.

Для оценки погрешности метода Эйлера заметим, что формула (7) при и формула для точного решения (6) отличаются членом .

Здесь и далее мы будем использовать символ Ландау для обозначения порядка малости некоторой величины. А именно, выражение служит для обозначение порядка малости некоторой величины таким образом, что . В таком случае и мы говорим, что имеет -й порядок малости относительно параметра .

Очевидно, что величина , характеризующая отличие выражений для точного и приближенного решений, является основным источником погрешности последнего. В силу этого он получил название погрешности аппроксимации. Иногда для его обозначения используют термины локальная погрешность (погрешность, вносимая в уравнение в каком-либо отдельном узле сетки) или погрешность дискретизации, невязка, погрешность усечения от английского термина truncation error (погрешность, обусловленная пренебрежением членами выше некоторого порядка малости).

Для оценки погрешности метода Эйлера вычтем из уравнения (7) уравнение (6) при . В итоге для погрешности метода имеем

. (10)

Несложно убедиться, что, если вторая производная от решения ограничена в точке , а погрешность начальных условий равна нулю, то один шаг метода Эйлера дает приближенное решение при с точность . Однако, при строгой оценке погрешности численных методов мы, вообще говоря, не имеем права делать какие-либо предположения относительно свойств точного решения дифференциальной задачи (мы о нем пока ничего не знаем). По возможности нам следует получить необходимые оценки исходя только из условий на входных данных задачи, т.е. начальные условия, функцию и, в крайнем случае, само уравнение дифференциальной задачи. Для оценки второй производной продифференцируем исходное уравнений по . Имеем

.

Из последнего выражения видно, что для существования и ограниченности второй производной решения достаточно потребовать ограниченность и непрерывную дифференцируемость правой части задачи. Пусть

.

в некоторой области значений искомого решения и независимой переменной . Тогда вторая производная решения дифференциальной задачи равномерно ограничена в данной области

Теперь оценка погрешности метода Эйлера на первом шаге получена строго

.

где - погрешность аппроксимация или локальная ошибка метода.

На последующих шагах сетки оценка погрешности ведется аналогично. Заметим, однако, что в формуле (6) используется точное значение решения при вычислении функции , а в формуле Эйлера мы используем приближенное решение. Поэтому вычитание этих формул в произвольной точке сетки дает следующее выражение для погрешности:

.

Используя обозначение , последовательно оценим значение погрешность в произвольной точке через погрешность начальных данных:

. (11)

Чтобы получить оценку глобальной погрешности приближенного решения на сетке нам потребуется убедиться в ограниченности величины . Если мы рассматриваем численное решение задачи на конечном временном отрезке , то количество узлов сетки на данном интервале зависит от величины шага: . Тогда при и произвольном , используя второй замечательный предел, имеем

и оценка (11) приобретает вид

. (12)

Как следует из оценки (12), при и достаточно малых шагах сетки , глобальная погрешность приближенного решения стремиться к нулю. В таких случаях говорят, что приближенное решение сходится к точному, а порядок малости глобальной погрешности по отношению к шагу сетки называют скоростью сходимости. Заметим, что глобальная ошибка метода Эйлера по порядку малости совпадает с локальной ошибкой, т.е. метод Эйлера обладает первым порядком скорости сходимости. Взаимосвязь локальной и глобальной погрешности численных методов носит весьма универсальный характер и ниже будет обобщена для более общего случая одношаговых численных методов.

Подытоживая вышесказанное, сформулируем полученные результаты в виде

ТЕОРЕМА 1. Метод Эйлера (7) имеет первый порядок аппроксимации на решении задачи Коши (4) с функцией , удовлетворяющей условиям

,

и для глобальной погрешности приближенного решения справедлива оценка (12).