Дифференциальные уравнения

Программа государственного экзамена

по специальности «Прикладная информатика»

Утверждена на заседании Ученого совета факультета ВМК 2 апреля 2007 года

Математический анализ

1. Пределы последовательностей и функций. Первый и второй замечательные пределы и следствия из них. Эквивалентные бесконечно-малые величины. Раскрытие основных неопределенностей, правила Лопиталя.

2. Непрерывность функций одной и нескольких переменных (в точке, на множестве). Совокупная и покоординатная непрерывность. Теоремы о непрерывных функциях.

3. Производная и дифференциал функции одной переменной. Критерий дифференцируемости функции.

4. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Частные производные и дифференциал функции. Производная по направлению.

5. Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции нескольких переменных. Условный экстремум функции нескольких переменных. Метод неопределенных множителей Лагранжа.

6. Неопределенный и определенный интегралы. Основные приемы интегрирования функций.

7. Геометрические приложения интегралов. Вычисление площадей плоских областей и объемов тел. Длина плоской кривой в различных координатах.

8. Основные теоремы для криволинейных и поверхностных интегралов. Формулы Грина, Остроградского-Гаусса, Стокса.

9. Достаточное условие регулярности функции. Представление функций рядами Тейлора.

Геометрия и алгебра

1. Кольца и поля. Линейные (векторные) пространства. Линейная независимость систем векторов, ее ранг. Базис и размерность линейного пространства. Координаты вектора в базисе, их изменение при изменении базиса.

2. Детерминант матрицы, его свойства и способы вычисления.

3. Действия с матрицами. Кольцо квадратных матриц. Обратная матрица, способы ее нахождения.

4. Линейные алгебраические системы уравнений, получение общего решения, геометрическая интерпретация. Условия совместности и однозначной разрешимости.

5. Правило Крамера и метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений. Сравнение трудоемкости этих методов.

6. Теоремы о ранге матрицы, способы его нахождения.

7. Собственные числа и векторы линейного преобразования. Критерий подобия данной матрицы и некоторой диагональной.

8. Приведение квадратичных форм к каноническому виду. Закон инерции. Положительно определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.

Дифференциальные уравнения

1. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения.

2. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и методы их решения. Структура общего решения.

3. Приемы интегрирования простейших дифференциальных уравнений.