Б. Задачки на разные темы из одного толстого задачника

Домашнее задание №5. Ассорти

Вы можете выбрать, какое из заданий делать. Впрочем, хотя я не буду никого обязывать, но полагаю, что для некоторых из вас дело чести — решить более сложное задание А (разумеется, не пытаясь найти решения в интернете).

А. Задачи районной олимпиады по геометрии

Для получения пятёрки достаточно решить три задачи.

Лучше всего, конечно, сделать это до районки (а на выходных оформить решения в письменном виде).

1. В выпуклом четырехугольнике ABCD AB = BC и AD = DC. На диагонали AC нашлась такая точка K, что AK = BK и четырехугольник KBCD вписанный. Докажите, что BD = CD. (Ф. Бахарев, Д. Ростовский)

2. В выпуклом четырехугольнике, описанном около окружности, произведения противоположных сторон равны. Угол между стороной и одной из диагоналей равен 20 градусам. Найдите угол между этой стороной и другой диагональю. (Ф. Бахарев)

3. На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки K и L соответственно. Оказалось, что BL = CK и L BKC = L CLK. Кроме того, прямая AC касается окружности, описанной около треугольника BCK. Докажите, что AL — биссектриса угла BAC.

4. В параллелограмме ABCD AB + CD = AC. На стороне BC находится такая точка K, что L ADB = L BDK. Найдите BK: KC. (Ю. Лифшиц)

5. На стороне BC треугольника ABC отмечены такие точки M и N, что CM = MN = NB. К стороне BC в точке N построен перпендикуляр, пересекающий сторону AB в точке K. Оказалось, что площадь треугольника AMK в 4, 5 раза меньше площади исходного треугольника. Докажите, что исходный треугольник равнобедренный.

Б. Задачки на разные темы из одного толстого задачника

Задачи простые, но поскольку тема каждой из них не указана, то могут вызвать трудности. На пятёрку достаточно решить пять задач.