Конечно. Здесь можно пояснить следующее: в методе Эйлера мы ориентируемся по касательной к графику функции в данной точке и получаем ошибку O(h)

Здесь можно пояснить следующее: в методе Эйлера мы ориентируемся по касательной к графику функции в данной точке и получаем ошибку O(h). Если подобрать коэффициенты рядов Тейлора, подправить их так, чтобы получилась секущая графика функции, проходящая через данную точку, то ошибка будет меньше.

Давайте рассмотрим функцию φ, определяемую соотношением

Мы хотим выбрать константы с₁, с₂ и с₃ так, чтобы максимизировать порядок одношагового метода (10.20). Т.е. хотим найти наилучшую определяемую константами с₂ и с₃ линейную комбинацию двух значений f, и найти в какой точке интервала при этом следует вычислять второе значение f, что задается константой с_{1 .}

Разложим функцию φ в ряд Тейлора по двум переменным в окрестности точки (x, y).

Разлагая сначала по переменной х, получаем

где f(x, y) обозначено через f, а частные производные по х - через f_x и f_xx. Воспользовавшись теперь разложением по y, где все встречающиеся частные производные вычислены в точке (x, y), имеем

(10.24)

С другой стороны, для точного решения дифференциального уравнения y(x) имеем

(10.25)