Смешанное произведение векторов. Смешанным произведением трех векторов называется число

Смешанным произведением трех векторов называется число

. (2.17.1)

Из рисунка видно, что объем параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c, выражается соотношением

.

Эта формула верна, если векторы с и a ´ b образуют острый угол. Если этот угол тупой, то формула принимает вид

Объединим эти формулы знаком абсолютной величины

Таким образом, модуль смешанного произведения выражает объем параллелепипеда, построенного на перемножаемых векторах. При этом знак смешанного произведения будет положительным, если упорядоченная тройка векторов () является правой, и отрицательным - если левой.

Для смешанного произведения справедлива циклическая перестановка векторов

Очевидно, что условие компланарности трех векторов эквивалентно равенству

Выражение смешанного произведения векторов через координаты имеет вид

(2.17.2)

Отсюда следует условие компланарности трех векторов, заданных координатами

(2.17.3)