Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Теоретические сведения. Формула Чебышева для вычисления определенного интеграла




Формула Чебышева для вычисления определенного интеграла.

Вид формулы :

Задача формулы Чебышева:

1. Подобрать константы , чтобы они были постоянные.

2. Формула должна быть точной для полинома степени включительно.

Для того, чтобы узлы квадратурной формулы не зависели от пределов интегрирования a и b, перейдём к стандартным пределам интегрирования:

,

надо найти так, чтобы формула была точна для , ,… .

 

Чебышев показал, что решение этой системы сводится к нахождению корней некоторого алгебраического уравнения степени . Доказано, что при и система не имеет действительных корней.

 

n i
1;2
1;3
1;4 2;3
1;5 2;4
1;6 2;5 3;4
1;7 2;6 3;5

Переход от пределов интегрирования [-1;1] к пределам [a;b] :

Формула Чебышева для произвольного интервала:

Квадратурная формула Гаусса. Рассмотрим полином Лежандра:

,

 

Свойства полинома Лежандра:

1.

2. -многочлен степени

3. Полином Лежандра имеет ровно различных действительных корней на отрезке [-1;1].

Рассмотрим функцию на интервале [-1;1].

Задача формулы Гаусса: найти точки и коэффициенты

( ) , чтобы квадратурная формула была точна для полиномов наивысшей возможной степени . Т.к. постоянных имеется , то наивысшая возможная степень полинома - .

Система нелинейная, её решение трудное и поэтому применяется искусственный приём для и .

Рассмотрим полином: , , где -полином Лежандра. Общая степень будет справедлива формула: (по свойству ортогональности). Это равенство справедливо для любых , если . В качестве нужно взять нули полинома Лежандра.

Вернёмся к изначальной системе. Теперь она линейная, т.к. - это нули.

Система имеет определитель Вандермонда; при определитель Вандермонда коэффициенты определяются неоднозначно.

Переход от пределов интегрирования [-1;1] к пределам [a;b] :

Формула Гаусса для произвольного интервала:

n i
1;3 5/9 8/9
1;4 2;3
1;5 2;4

Погрешность.

, для интервала [a;b].

Точность квадратурной формулы при фиксированном числе узлов существенно зависит от расположения этих узлов.

 


mylektsii.ru - Мои Лекции - 2015-2019 год. (0.009 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал