Теоретические сведения. Предположим, что заданы точки и требуется произвести подгонку экспоненциальной кривой:

Предположим, что заданы точки и требуется произвести подгонку экспоненциальной кривой:

(1)

Для процедуры нелинейного метода наименьших квадратов требуется найти минимум:

Частные производные Е(А, С) по А и С равны

и

Если положить частные производные в эти формулы равными нулю и затем упростить эти выражения, то можно получить нормальные уравнения

Полученные уравнения – это нелинейные уравнения с неизвестными Аи С, которые можно решить методом Ньютона. Для этого потребуется только время на вычисления и итерации, для которой нужны хорошие начальные значения для А и С. Во многих пакетах прикладных программ содержатся встроенные подпрограммы и минимизации функций от нескольких переменных, которые можно непосредственно использовать для минимизации функции Е(А, С). Например, симплекс-алгоритм Недлера-Мида можно непосредственно использовать для минимизации и обойтись без данных уравнений.

Степенная прогонка. В некоторых случаях функция имеет вид f(x)=Ax^M, где М- известная постоянная.

Теорема (степенная прогонка): предположим, что {(x_k, y_k)}^N_k=1- N точек с различными абсциссами. Коэффициент А кривой, построенной методом наименьших квадратов, y=Ax^M, равен

Благодаря технике МНК видим, что минимум функции Е(А) равен

В данном случае достаточно решить уравнение E’(A)=0. Производная равна

Таким образом, коэффициент А является решением уравнения, которое приводит к равенству, приведенному выше.

Построение кривой по точкам. Метод линеаризации данных для y=Ce^Ax . Требуется выполнить подгонку экспоненциальной кривой вида (1)

y=Ce^Ax.

Первым будет шагом будет логарифмирование обеих частей:

Затем заменим переменные:

В результате получим линейное соотношение между новыми переменными X и Y:

Исходные точки (x_k; y_k) на плоскости ху преобразовались в точки (X_k; Y)=(x_k; ln(y_k)) на плоскости XY. Этот процесс называют линеаризация данных. Тогда построенная МНК линия является подгонкой к точкам {(X_k; Y_k)}. Нормальными уравнениями для нахождения А и В будут уравнения

После того как А и В найдены, вычисляем параметр С уравнения (1):