Лабораторная работа №6 исследование релейной системы автоматического управления методом фазовой плоскости

Цель работы:

– изучение базовых нелинейных блоков и их динамических характеристик;

–исследование динамики нелинейных систем второго порядка методом фазовой плоскости.

6.1 Краткие теоретические сведения

Нелинейной называется система, которая содержит хотя бы один элемент с нелинейной зависимостью между его входной и выходной величинами в установившемся режиме. Нелинейности бывают естественные и искусственно вводимые. Естественные нелинейности обусловлены свойствами реальных элементов: насыщением, нечувствительностью, неоднозначностью и т.п.

Основные особенности нелинейных систем:

1. К нелинейной системе не применим принцип суперпозиции. Реакцию нелинейной системы на несколько различных воздействий нельзя получить как сумму составляющих на отдельные воздействия, так как эта реакция зависит от величины входных воздействий и начальных условий.

2. В нелинейной системе могут возникнуть автоколебания, амплитуда которых не зависит от внешних воздействий и начальных условий.

3. В нелинейной системе возможны несколько состояний равновесия, которые могут быть либо субгармоникой, либо гармоникой входного сигнала. Несколько состояний равновесия возможны и при отсутствии входного воздействия, но в зависимости от различных значений начальных условий.

4. Наконец, в нелинейной системе могут быть явления скачкообразного резонанса, заключающегося в резком возрастании амплитуды выходной координаты системы при росте частоты входного воздействия и резком уменьшении выходной координаты при снижении частоты входного воздействия.

В табл. 6.1 приведены статические характеристики основных типов нелинейных элементов (НЭ), рассматриваемых в ТАУ, и блоки, с помощью которых НЭ моделируются в Simulink (библиотека Discontinuities).

Табл. 6.2 содержит графические изображения и основные параметры соответствующих блоков Simulink.

Таблица 6.1

Виды нелинейных элементов

(Насыщение- Saturation)	(Зонанечувствительности- Dead Zone)
(Трехпозиционное реле с гистерезисом -Relay+Relay)	(Реле с гистерезисом- Relay)
(Трехпозиционноереле-Relay+Relay)	(Двухпозиционноереле- Relay)

Таблица 6.2

Модели нелинейных звеньев в Simulink

	Saturation – насыщение, в параметрах задаются верхний и нижний пределы (Upper limit и Lower limit).
	Dead zone – нечувствительность, «мертвая зона». В параметрах задаются пределы нечувствительности (Start of dead zone и End of dead zone).
	Relay – реле, в параметрах задаются точки переключения (Switch on point и Switch off point), в также величины сигналов в режимах «включено» (Output when on) и «выключено» (Output when off).

Для упрощения анализа нелинейной системы производят структурные преобразования, чтобы в замкнутом контуре иметь нелинейный элемент (НЭ) и линейную часть (ЛЧ) (рис. 6.1).

Рис. 6.1

Основными задачами исследования нелинейных систем являются: отыскание возможных состояний равновесия системы и исследование их устойчивости; определение параметров автоколебаний и анализ их устойчивости; исследование процессов перехода системы к тому или иному установившемуся состоянию при различных начальных отклонениях.

Метод фазовой плоскости используется для исследования систем второго порядка и заключается в построении фазовых портретов на плоскости. Для изображения процессов на фазовой плоскости нелинейное уравнение, описывающее систему, заменяют эквивалентными уравнениями первого порядка вида

(6.1)

где – координата системы и ее первая производная;

f (x, y) – нелинейная функция.

Разделив первое из уравнений на второе (6.1), получим дифференциальное уравнение, из которого исключено время t:

(6.2)

Решением данного уравнения y = F (x) определяет уравнение фазовой траектории, которая графически изображается на фазовой плоскости (x, y). Каждой совокупности начальных условий соответствует свое решение и своя фазовая траектория. Семейство фазовых траекторий характеризует все возможные виды переходных процессов в данной системе управления при любых начальных условиях и образует ее фазовый портрет.

В точках, которые соответствуют установившемуся состоянию системы

наклон касательных к фазовым траекториям не определен. Такие точки называют особыми точками.

На рис. 6.2 изображены основные фазовые портреты системы

а)	б)
в)	г)
д)	е)

а – устойчивый узел, б - неустойчивый узел, с –устойчивый фокус,

г –неустойчивый фокус, д – центр, е -седло

Рис.6.2

В нелинейных системах, как правило, существуют несколько особых точек. Возможны их самые различные комбинации. В связи с этим для определения характера движения системы необходимо строить фазовый портрет НСАУ.

При этом каждая нелинейная система имеет собственный фазовый портрет.

В нелинейных системах существуют замкнутые кривые – предельные циклы, к которым сходятся или от которых расходятся все остальные фазовые траектории.

Все фазовые портреты можно классифицировать по типу предельного цикла. Рассматривают три типа предельных циклов

1. Устойчивый предельный цикл: к нему стремятся все соседние фазовые траектории (рис. 6.3).

Рис. 6.3.

2. Неустойчивый предельный цикл: с него сходят все соседние фазовые траектории. Система «неустойчива в большом и устойчива в малом»(рис. 6.4).

Рис. 6.4

В различных частях фазовой плоскости фазовые траектории могут быть различными. Линии, разделяющие фазовую плоскость на участки с различными фазовыми траекториями, называются сепаратрисами.

Кроме того, для фазового портрета нелинейных систем с разрывными характеристиками характерно наличие линий переключения, которые также разделяют фазовую плоскость на ряд областей с различными фазовыми траекториями. При попадании изображающей точки на фазовой траектории на линию переключения, конечное значение этой фазовой траектории принимаются за начальные условия для фазовой траектории в смежной области.

6.2 Порядок выполнения работы

1.Открыть библиотеку Discontinuties. Исследовать типовые нелинейности. Изучить релейный элемент в среде Simulink: в соответствии с вариантом из табл. 6.1. Построить временные и статические характеристики элемента при изменении параметров m и d. На вход блока реле подать синусоидальный сигнал произвольной частоты .Статические характеристики нелинейностей фиксируются с помощью блока «XYGraph».

Таблица 6.1

Варианты заданий

№	Вид нелинейности	m	Umax	d
		0, 5
	0, 5
	0, 5
	0, 5	1, 5
	0, 5	1, 5
	0, 5
	0, 5
	0, 5	2, 5
	0, 5	1, 5
	0, 5
	0, 5	2, 5
	0, 5	1, 5
	0, 5	1, 5
	0, 5	1, 5
	0, 5

2. В соответствии со структурной схемой (рис. 6.5) смоделировать систему управления, где , величину K выбрать по варианту (табл. 6.2).

Рис.6.5

3.Для случая идеального двухпозиционного реле, отсутствия коррекции по скорости и нулевого входного сигнала, т.е. при d =0, β =0, g =0, задайте начальное отклонение при получите фазовую траекторию, соответствующую свободному движению системы. Зарисуйте фазовый портрет и графики изменения и .

Таблица 6.2

Параметры передаточной функции

Схема цифровой модели в пакете Simulink представлена на рис. 6.6.

Рис.6.6

4. Введите коррекцию по скорости, полагая β ≠ 0, и получите фазовые траектории при β =0, 25; 0, 5; 1. Зарисуйте фазовый портрет и графики изменения и .

5. Измените вид релейной характеристики, введя зону нечувствительности, т.е. задайте d ≠ 0 при m =1. Получите фазовый портрет, рассматривая свободное движение системы при отсутствии коррекции по скорости.

6. Задайте начальное отклонение при и получите фазовую траекторию при отсутствии коррекции по скорости, изменяя величину зоны нечувствительности.

7. Введите коррекцию по скорости, задавая β =0, 25; 0, 5; 1. Зарисуйте графики изменения и при заданной степени коррекции.

8. Реализуйте релейную характеристику гистерезисного типа, задавая d ≠ 0 при m = -1. При β =0 задайте малое начальное отклонение получите фазовую траекторию. Зарисуйте фазовый процесс и графики изменения и .

Схема цифровой модели в пакете Simulink представлена на рис. 6.7.

Рис.6.7

9. Введите коррекцию по скорости, задавая β = 0, 25; 0, 5; 1и получите фазовые траектории, соответствующие отработке малых и больших начальных отклонений. Как зависят от степени коррекции по скорости параметры предельного цикла и соответствующих ему периодических колебаний?

10. Реализуйте релейную характеристику с гистерезисом и зоной нечувствительности, задавая d ≠ 0 и 0< m < 1.

11. При β =0 задайте начальное отклонение и получите фазовый портрет и графики изменения и .

12. Введите коррекцию по скорости, задайте начальное отклонение и для различныхβ исследуйте вид фазовой траектории. Зарисуйте фазовые портреты и графики изменения и .

13. Повторить пункты 3-12 для передаточной функции линейной части в виде , параметры K и T выбрать по варианту (табл. 6.2)

6.3 Содержание отчета

1. Цель работы.

2. Структурные схемы исследуемых систем.

3. Полученные графики и характеристики.

4. Основные выводы.

6.4 Контрольные вопросы

1. Почему метод фазовой плоскости относят к точным методам исследо-вания нелинейных систем?

2. Какие существуют типы нелинейностей?

3.Что такое предельный цикл? Какие типы предельных циклов вам известны?

4. Что называется линией переключения? Что такое скользящий режим?

5. Как по фазовой траектории определить поведение системы во времени?