Частотные характеристики звена.

Если на вход линейного звена подать гармоническое воздействие , то на выходе звена в установившемся режиме будет также гармоническая функция той же частоты, но, в общем случае, другой амплитуды y ₀ и сдвинутая по фазе относительно входной величины на угол :

. (1.8)

Связь между выходной гармоникой и входной устанавливается с помощью частотной передаточной функции звена .

Частотная передаточная функция является важнейшей динамической характеристикой звена и представляет собой отношение изображений по Фурье выходного и входного сигналов при нулевых начальных условиях и равных нулю воздействиях на остальных входах:

(1.9)

Формально частотную передаточную функцию звена легко получить из его передаточной функции путем замены оператора s на j w, т.е.

(1.10)

Частотная передаточная функция представляет собой комплексное число, которое можно записать как в полярной, так и декартовой системах координат:

, (1.11)

где – модуль или амплитуда частотной передаточной функции
(АЧХ), представляющий собой отношение амплитуды
выходной величинык амплитуде входной, т.е. коэффи-
циент усиления звена K на частоте w;

- аргумент или фаза частотной передаточной функции (ФЧХ), показывает фазовый сдвиг выходной гармоники по отношению к входной на частоте w;

U (w) - вещественная составляющая частотной передаточной функции

U (w) = Re W (j w);

V (w) - мнимая составляющая частотной передаточной функции

V (w) = Im W (j w).

Соотношения и связывают между собой составляющие частотной передаточной функции.

На практике часто применяются соответствующие логарифмические частотные характеристики: логаpифмичeская амплитудная частотная характеристика (ЛАЧХ) и логарифмическая фазовая частотная xаpактepистика (ЛФЧХ) , графики которых строятся в логарифмическом масштабе.

При построении по оси ординат откладывается величина , единицей измерения которой является децибел, а по оси абсцисс – частота [1/с] в логарифмическом масштабе, т. е. величина . Увеличение в 10 раз соответствует приращению вдоль оси ординат на 20 дБ.

При построении ЛФЧХ величину откладывают по оси ординат в обычном масштабе (в градусах или радианах), a – в логарифмическом масштабе.

Построение временных и частотных характеристик математических моделей систем управления является одной из главных задач анализа САУ.

Рассмотрим временные и частотные характеристикитиповых звеньев ТАУ:

– Идеальное интегрирующее звено.

Идеальное интегрирующее звено описывается дифференциальным уравнением первого порядка

dу (t) /dt = K·х (t)

и передаточная функция звена имеет вид

. (1.12)

Переходная функция интегрирующего звена определяется по формуле

h (t) = L ^-1[ W (s)/ s ] = L ^-1[ K / s ²] = Kt

и представлена на рисунке 1.1, a. Весовая функция интегрирующего звена имеет вид:

w (t) = L ^-1[ W (s)] = L ^-1[ K / s ] = K ·1(t)

График весовой функции представлен на рисунке 1.1, б.

а

б

Рис.1.1

Частотные характеристики звена определяются следующими соотношениями:

W (j ω) = K / j ω = K ω · j /ω ² = 0 – (K /ω)· j,

A (ω) = = K /ω,

φ (ω) = arctg(-(K /ω)/0) = –arctg(∞) = –π /2 = –90^°.

L (ω) = 20·lg[ A (ω)] = 20·lg(K /ω) = 20lg(K) – 20lg(ω).

Идеальное дифференцирующее звено.

Такое звено является идеализацией реальных дифференцирующих звеньев. Примерами идеальных дифференцирующих звеньев могут служить операционный усилитель в режиме дифференцирования, тахогенератор и др.

Звено имеет следующие дифференциальное уравнение и передаточную функцию:

, (1.13)

и соответственно характеристики:

, ,

, ,

, .

Звено пропускает сигнал тем сильнее, чем выше его частота. Это свойство является в автоматических системах часто нежелательным, так как звено может в значительной степени повышать уровень действующих в системе помех, которые, как правило, являются высокочастотными

Апериодическое (инерционное) звено первого порядка описывается дифференциальным уравнением первого порядка

T · dу (t)/ dt + у (t) = K · х (t)

и его передаточная функция примет вид

, (1.14)

где K - коэффициент усиления звена;

Т -постоянная времени апериодического звена.

Переходная функция апериодического звена I-го порядка имеет вид (рис. 1.2):

Рис. 1.2

Весовая функция апериодического звена I-ого порядка определяется по выражению (1.10).

. (1.15)

Частотные характеристики инерционного звена определяются по формулам

- АФЧХ

-АЧХ

- ФЧХ

- ЛАЧХ

Графики характеристик представлены на рисунке 1.3.

а)	б)
в)	г)

а) АФЧХ, б) АЧХ, в) ФЧХ, г) ЛАЧХ

Рис. 1.3

Апериодическое звено первого порядка является фильтром низких частот.Примерами апериодического звена первого порядка могут служить RC цепочка, нагревательный элемент и др.