Похідна і диференціал функції

Похідна функції. Похідною функції f(x) в точці х = х₀ називається границя відношення приросту функції в цій точці до приросту аргументу, якщо він існує.

. (4.3)

Основні правила диференціювання функцій. Хай функції u = u (x) і v = v(x) – диференційовані в точці х. а C – постійна величина (C = const). Мають місце наступні правила:

1) ;

2) ;

3) (u (v)(= u((v(;

4) (u(v)(= u(v(+ u((v;

5) , якщо v ≠ 0.

Таблиця похідних:

1) С´ = 0	9)
2) (xm)´ = m xm-1	10)
3)	11)
4)	12)
5)	13)
6)	14)
7)	15)
8)	16)

Похідна складної функції. Хай функції y = f(u) і u = g(x) диференційовані у відповідній точці, причому область значень функції g(x) входить в область визначення функції f.

Тоді . (4.4)

Приклади. Знайти похідну

1)

2)

3)

4)

Логарифмічне диференціювання. Похідна степенево-показової функції

. (4.5)

Приклади. 5) ,

6) ,

.

Функція, задана параметрично. Хай залежність між аргументом х і функцією у задана в параметричному вигляді

, де t – параметрична змінна.

. (4.6)

Приклад. 7)

Похідні вищих порядків. Хай ми знайшли від функції у = f(х) її похідну у′ = f ′ (х). Похідна від цієї похідної і називається похідною другого порядку від функції f(х) і позначається y′ ′ або f ′ ′ (х) або . Аналогічно визначаються і позначаються: похідна третього порядку у′ ′ ′ = f′ ′ ′ (x) = ;

похідна четвертого порядку у^IV= f^IV(x) = ; …

похідна n -ого порядку у⁽ⁿ⁾ = f ⁽ⁿ⁾(x) = .

Приклади. 1) у = 5 х⁴ – 3 х³ + 2 х – 2.. Знайти у′ ′.

Розв‘язок. Знаходимо на початку першу похідну: у′ = 20 х³ – 9 х² +2, потім другу похідну: у′ ′ = 60 х² – 18 х.

2) y = х sinx.. Знайти у′ ′ ′.

Розв‘язок. y` = sin x + x cos x

y′ ′ = cosx + cosx – x sinx = 2cosx – x sinx

y′ ′ ′ = -2sinx – sinx – x cosx = -3sinx – x cosx.