Метод наименьших квадратов

Если набор экспериментальных данных получен со значительной погрешностью, то интерполяция не только не требуется, но и нежелательна! Здесь требуется построить кривую, которая воспроизводила бы график исходной экспериментальной закономерности, т.е. была бы максимально близка к экспериментальным точкам, но в то же время была бы нечувствительна к случайным отклонениям измеряемой величины.

Введем непрерывную функцию φ (x) для аппроксимации дискретной зависимости f(x _i ), i = 0… n. Будем считать, что φ (x) построена по условию наилучшего квадратичного приближения, если

. (1)

Весу ρ для i -й точки придают смысл точности измерения данного значения: чем больше ρ, тем ближе аппроксимирующая кривая «притягивается» к данной точке. В дальнейшем будем по умолчанию полагать ρ = 1 для всех точек.

Рассмотрим случай линейной аппроксимации:

φ (x) = c₀φ ₀(x) + c₁φ ₁(x) + … + c_mφ _m(x), (2)

где φ ₀…φ _m – произвольные базисные функции, c₀…c_m – неизвестные коэффициенты, m < n. Если число коэффициентов аппроксимации взять равным числу узлов, то среднеквадратичная аппроксимация совпадет с интерполяцией Лагранжа, при этом, если не учитывать вычислительную погрешность, Q = 0.

Если известна экспериментальная (исходная) погрешность данных ξ, то выбор числа коэффициентов, то есть величины m, определяется условием:

(3)

Иными словами, если , число коэффициентов аппроксимации недостаточно для правильного воспроизведения графика экспериментальной зависимости. Если , многие коэффициенты в (2) не будут иметь физического смысла.

Для решения задачи линейной аппроксимации в общем случае следует найти условия минимума суммы квадратов отклонений для (2). Задачу на поиск минимума можно свести к задаче поиска корня системы уравнений , k = 0… m. (4).

Подстановка (2) в (1), а затем расчет (4) приведет в итоге к следующей системе линейных алгебраических уравнений:

Далее следует решить полученную СЛАУ относительно коэффициентов c₀…c_m. Для решения СЛАУ обычно составляется расширенная матрица коэффициентов, которую называют матрицей Грама, элементами которой являются скалярные произведения базисных функций и столбец свободных коэффициентов:

,

где , , j = 0… m, k = 0… m.

После того как с помощью, например, метода Гаусса найдены коэффициенты c₀…c_m, можно построить аппроксимирующую кривую или вычислить координаты заданной точки. Таким образом, задача аппроксимации решена