Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Метод итераций. Рассмотрим уравнение вида .
Рассмотрим уравнение вида . Функция удовлетворяет условию Липшица на отрезке [ a; b ] с константой , если справедливо следующее неравенство:
Коэффициент называется константой Липшица для функции . Класс функций, удовлетворяющих условию Липшица, непуст. В частности, если данная функция дифференцируема на [ a; b ] (), то она удовлетворяет условию Липшица с константой (это утверждение следует из теоремы Лагранжа о конечных приращениях). Теорема 3.1. Пусть функция определена на некотором отрезке Тогда на этом отрезке функция имеет единственный корень, который может быть найден как предел последовательности приближений: , где x 0 - начальное приближение, . Доказательство. Покажем, что все xk Î [ x 0; x 0 +r ]. Без ограничения общности можно считать, что x 0 = 0. Тогда условие теоремы запишется следующим образом: . (3.1) Запишем условие Липшица: , x Î [0; r ]. (3.2) Так как x Î [0; r ], то x > 0, следовательно, . Преобразуем данное неравенство: ; . Рассматривая правую часть получившегося неравенства, с учетом (3.1) получаем: . Поскольку , следовательно, если xk -1Î [0; r ], то xk Î [0; r ], т.е. какое бы приближение мы не брали, каждое следующее также будет попадать в указанный отрезок. Докажем, что построенная таким образом последовательность имеет предел. Применим критерий Коши сходимости последовательности: сходится при . . При фиксированном значении p выражение . Поскольку 0< a < 1, то с ростом n выражение ® 0; следовательно, критерий сходимости Коши выполняется и существует предел: . Покажем, что x * является решением уравнения. Рассмотрим равенство . Учитывая непрерывность функции j, перейдем к пределу: следовательно, x * - корень уравнения. Докажем единственность решения. Пусть имеется два решения: x * и x **. Тогда ; . Вычитая эти равенства, получим: ; . (3.3) С другой стороны, т.к. рассматриваемая функция удовлетворяет условию Липшица, то . (3.4) Сравнивая (3.3) и (3.4) и учитывая, что a < 1, получаем: , т.е. решение единственно.
Если условие не выполняется, но выполняется условие , то в качестве начального приближения берется правый конец отрезка. Оценим погрешность метода простых итераций: , причем имеет место сходимость со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем меньше 1. Геометрический смысл метода итераций заключается в отыскании точки пересечения графиков функций y = x и y = j (x). Процесс сходимости показан на рис. 3.1, если функция убывает (-1< j /< 0), и на рис. 3.2, если функция возрастает (0< j /< 1). Рис. 3.1. Рис. 3.2.
Условие 0 < a < 1 является достаточным, но не необходимым: если a> 1, то итерации могут разойтись, а уравнение может иметь решение. (В качестве примера следует рассмотреть функцию j (x) = bx, где b > 1. Итерации разойдутся, если в качестве начального приближения взять любое x 0 ¹ 0.) Метод итераций можно применять и для решения нелинейных систем уравнений. Рассмотрим пространство Rn с введенной на этом пространстве нормой || x ||. Замкнутым шаром S(x (0), r) с центром в точке x (0) и радиусом r называется множество всех n -мерных векторов x таких, что расстояние между x и Y не превосходит r: . Рассмотрим нелинейное уравнение , где j - вектор-функция, а х – п -мерный вектор, т.е. рассмотрим систему: Определим матрицу . Теорема 3.2. Пусть функция j непрерывно дифференцируема в шаре S. Пусть также в шаре S выполняются условия: и . Тогда справедливо утверждение теоремы 3.1.
|