Метод прямоугольников. Различают метод левых, правых и средних прямоугольников

Различают метод левых, правых и средних прямоугольников. Суть метода ясна из рисунка. На каждом шаге интегрирования функция аппроксимируется полиномом нулевой степени – отрезком, параллельным оси абсцисс.

Выведем формулу метода прямоугольников из анализа разложения функции f(x) в ряд Тейлора вблизи некоторой точки x = xi.

Рассмотрим диапазон интегрирования от xi до xi+h, где h – шаг интегрирования.

Вычислим = Получили формулу правых (или левых) прямоугольников и априорную оценку погрешности r на отдельном шаге интегрирования. Основной критерий, по которому судят о точности алгоритма – степень при величине шага в формуле априорной оценки погрешности.

В случае равного шага h на всем диапазоне интегрирования общая формула имеет вид

Здесь n – число разбиений интервала интегрирования,

Для справедливости существования этой оценки необходимо существование непрерывной f'(x).

Метод средних прямоугольников. Здесь на каждом интервале значение функции считается в точке

то есть Разложение функции в ряд Тейлора показывает, что в случае средних прямоугольников точность метода существенно выше: