Системы линейных уравнений. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Пример.

Метод Гаусса прекрасно подходит для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Он обладает рядом преимуществ по сравнению с другими методами:

· во-первых, нет необходимости предварительно исследовать систему уравнений на совместность;

· во-вторых, методом Гаусса можно решать не только СЛАУ, в которых число уравнений совпадает с количеством неизвестных переменных и основная матрица системы невырожденная, но и системы уравнений, в которых число уравнений не совпадает с количеством неизвестных переменных или определитель основной матрицы равен нулю;

· в-третьих, метод Гаусса приводит к результату при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.

Найдите решение системы уравнений методом Гаусса.

Коэффициент a₁₁ отличен от нуля, так что приступим к прямому ходу метода Гаусса, то есть, к исключению неизвестной переменной x₁ из всех уравнений системы, кроме первого. Для этого к левой и правой частям второго, третьего и четвертого уравнения прибавим левую и правую части первого уравнения, умноженные соответственно на , и :

Неизвестную переменную x₁ исключили, переходим к исключе нию x₂. К левым и правым частям третьего и четвертого уравнений системы прибавляем левую и правую части второго

уравнения, умноженные соответственно на и:

Для завершения прямого хода метода Гаусса нам осталось исключить неизвестную переменную x₃ из последнего уравнения системы. Прибавим к левой и правой частям четвертого уравнения соответственно левую и правую часть третьего уравнения, умноженную на:

Можно начинать обратный ход метода Гаусса.

Из последнего уравнения имеем ,
из третьего уравнения получаем ,
из второго ,
из первого .

Для проверки можно подставить полученные значения неизвестных переменных в исходную систему уравнений. Все уравнения обращаются в тождества, что говорит о том, что решение по методу Гаусса найдено верно.