Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Решение уравнений. Пусть имеется уравнение и надо найти хотя бы один корень с абсолютной погрешностью






Пусть имеется уравнение и надо найти хотя бы один корень с абсолютной погрешностью . Если на отрезке [a, b] выполняется условие , и функция на этом отрезке непрерывна, то отрезок [a, b] называется отрезком локализации корня. Локализовать корень – найти отрезок локализации корня.

Локализовать корень можно, например, табличным методом. Выбирается произвольный отрезок и на нём вычисляются значения функции с каким-либо шагом (как при построении графика). По полученным результатам выбираются два значения аргумента следующие подряд, такие, что для одного значения аргумента функция положительна, а для другого отрицательна. Эти два значения и являются концами отрезка локализации.

Если [a, b] отрезок локализации, то корень находится на этом отрезке и за его приблизительное значение можно принять середину этого отрезка, т.е. корень=(а+b)/2.

Очевидно, чем меньше длина отрезка, тем точнее получается приблизительное значение корня. Есть несколько способов уменьшения длины отрезка локализации. Мы рассмотрим самый простой, который называется метод деления отрезка пополам.

Пусть с=(а+b)/2. Если , то корень находится на отрезке [a, с], который и принимается за новый отрезок локализации. Если , то корень находится на отрезке [с, b]. В результате этих проверок мы получаем новый отрезок локализации, который в два раза меньше чем исходный. Применяя эту процедуру многократно, можно получить значение корня с любой степенью точности, т.к. погрешность определения корня не превышает половины длины отрезка локализации.

 

Вычислительная процедура может быть реализована так.

 

  A B C D E F
  Левый конец отрезка Правый конец отрезка Середина отрезка локализации Произведение функций   Абсолютная погрешность
  а b =(А2+В2)/2   0, 0001
             

Затем, вносятся следующие формулы:

В ячейку А3 - =ЕСЛИ(D2< =0; А2; С2)

В ячейку В3 - =ЕСЛИ(D2< =0; С2; В2)

В ячейку С3 - =(А3+В3)/2

В ячейку D3 -

В ячейку Е3 –

=ЕСЛИ(ABS(В3-А3)> $F$2; ”продолжаем”; ”приехали”).

После этого выделяются ячейки А3…Е3 и автозаполнением протаскиваются вниз до появления в столбце Е сообщения «приехали».

Приблизительное значение корня можно также найти с помощью средства, называемого «Подбор параметра».

Для этого надо в одну ячейку, например, в А2 внести значение аргумента, принадлежащее отрезку локализации, а в другую ячейку, например, В2 внести формулу для вычисления функции по значению аргумента. Сделать активной ячейку, содержащую формулу и выполнить команду «Сервис\Подбор параметра». Появится диалоговое окно, в котором надо заполнить три поля. Одно поле «Установить в ячейке» уже должно содержать адрес ячейки с формулой. В поле «Значение» необходимо поставить 0, т.к. мы ищем корень. В поле «Изменяя значение ячейки» – необходимо указать адрес ячейки, содержащей значение аргумента (в нашем случае адрес А2). После этого щелкнуть по кнопке ОК. После этого в ячейке с аргументом будет находится значение корня.

Точность нахождения корня можно регулировать в меню «Сервис\Параметры\Вычисления» с помощью параметров «Предельное число итераций» и «Относительная погрешность»

Контрольные вопросы.

1. Как осуществляется подведение итогов в списке?

2. Как задать вычисление промежуточных итогов?

3. Какие функции можно использовать для вычисления итогов?

4. Что такое надстройки?

5. Что можно сделать с помощью надстройки «Пакет анализа»?

6. Что можно сделать с помощью надстройки «Поиск решения»?

7. Что такое отрезок локализации корня?

8. Что значит локализовать корень?

9. В чём заключается идея решения уравнений методом деления отрезка пополам?

10. Как можно оценить погрешность вычисления корня методом деления отрезка пополам?

11. Как с помощью инструмента «Подбор параметра» найти значение корня?

Лекция 10 (2 часа).

Решение задач оптимизации. Анализ данных с использованием метода наименьших квадратов.

Решение задач оптимизации.

С помощью инструмента «Поиск решения» решаются задачи оптимизации следующих типов.

1. Имеется функция одной или нескольких переменных и необходимо найти значения переменных, при которых функция равна либо минимуму или максимуму.

2. Имеется функция одной или нескольких переменных и необходимо найти значения переменных, при которых функция равна либо минимуму либо максимуму с учётом дополнительных ограничений.

Функция, значение которой отыскивается с помощью инструмента «Поиск решения» называется целевой функцией, а ячейка, где содержится формула для вычисления значений функции, называется целевой ячейкой.

Ограничение состоит из левой части, в которой содержится формула для вычисления некоторой величины, и правой части, в которой указывается величина ограничения. Левая и правая части соединяются либо знаком равенства, либо знаком неравенства.

Рассмотрим решение такой задачи. Надо найти максимум функции при следующих ограничениях:

Эти данные можно внести на лист следующим образом:

  А В
  Переменные  
  Х1 Х2
     
  Целевая функция  
  =300*А3+200*В3  
  Ограничения  
  =А3+2*В3  
  =2*А3+В3  

 

После внесения исходных данных надо сделать активной целевую ячейку и вызвать «Поиск решения» через меню «Сервис\Поиск решения».

В появившемся диалоговом окне надо заполнить ряд полей.

Поле «Установить целевую ячейку» должно содержать адрес целевой ячейки. В нашем случае это адрес А5.

Затем установить переключатель «Равной» в положение «Максимальному значению».

Поле «Изменяя ячейки» должно содержать диапазон ячеек, содержащих независимые переменные. В нашем случае это А3: В3.

Поле «Ограничения» должно содержать все ограничения, если они имеются. В нашем случае, по условию задачи имеются четыре ограничения. Чтобы внести в это поле ограничения надо щелкнуть по кнопке «Добавить».

Появится диалоговое окно с тремя полями расположенными в ряд. Самое левое поле «Ссылка на ячейку», правее поле со списком, и ещё правее поле «Ограничение».

Поле «Ссылка на ячейку» должно содержать адрес ячейки с формулой ограничения. В поле со списком выбирается знак ограничения. Поле «Ограничение» содержит либо величину ограничения, либо адрес ячейки, где эта величина содержится.

В нашем случае, формула первого ограничения представляет собой просто переменную х1, поэтому указываем адрес А3, затем выбираем из списка неравенство больше или равно и величину ограничения указываем равной нулю. Чтобы добавить следующее ограничение надо в этом же окне щелкнуть по кнопке «Добавить» и внести новые данные. И так, до тех пор, пока не будут набраны данные по всем ограничениям. После внесения данных по последнему ограничению надо щелкнуть по кнопке ОК.

После этого можно щелкнуть по кнопке «Выполнить».

Через некоторое время появиться окно с результатом поиска решения. Возможны два варианта.

Если в окне будет сообщение «Решение найдено», то можно нажимать на кнопку ОК и в ячейках на листе будут содержаться найденные значения.

В нашем случае ячейки должны содержать: А3=2, В3=4, А5=1400, А8=10, А9=8.

Если появится сообщение «Процесс не сходится», то это означает, что решения не существует или оно не найдено при установленных параметрах поиска. Эти параметры можно изменить, если до щелчка по кнопке «Выполнить» нажать кнопку «Параметры». Можно попробовать изменить параметры «Максимальное время», «Предельное число итераций», «относительная погрешность» и «Допустимое отклонение».






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.