Связь относительной погрешности приближенного числа с количеством верных знаков этого числа

Теорема. Если положительное приближенное число а имеет п верных десятичных знаков в узком смысле, то относительная погрешность d этого числа не превосходит , деленную на первую значащую цифру данного числа, т.е.

,

где a_т – первая значащая цифра числа а.

Следствие 1. За предельную относительную погрешность числа а можно принять

, (2.9)

где a_т – первая значащая цифра числа а.

Следствие 2. Если число а имеет больше двух верных знаков, т.е. п 2, то практически справедлива формула

.

Приведенная теорема дает возможность по числу верных знаков приближенного числа

(2.11)

определить его относительную погрешность d.

Для решения обратной задачи – определения количества п верных знаков числа (2.11), если известна его относительная погрешность d, обычно пользуется приближенной формулой:

d = D/а (а> 0),

где D - абсолютная погрешность числа а.

Отсюда

D=аd. (2.12)

Учитывая старший десятичный разряд числа , легко установить количество верных знаков данного приближенного числа а. В частности, если

то из формул (2.11) и (2.12) имеем:

т. е. число а заведомо имеет п верных десятичных знаков в широком смысле. Аналогично, если , то число а имеет п верных десятичных знаков в узком смысле.