Угол между векторами

Смешанное произведение. Смеш.произв. 3х векторов наз-ся векторное произвед-е первых 2х сомножителей скалярно умноженных на третий. геометрический смысл выражения ([a, b], c).Имеем: (а х b) • с = d • с = |d| • прdс, |d|=|а х b| =S, где S — площадь параллелограмма, построенного на векторах а и b, прdс = Н Для правой тройки векторов и прdс = - Н для левой, где Н— высота параллелепипеда. Получаем: (axb)*c =S *(±H), т. е. (axb)*c =±V, где V — объем параллелепипеда, образованного векторами а, b и с.смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «плюс», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком «минус», если они образуют левую тройку. Свойства смешанного произведения 1.Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т. е. ([a, b], c)= ([b, c], a)= ([a, c], b).Действительно, в этом случае не изменяется ни объем параллелепипеда, ни ориентация его ребер. 2) Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков вкторного и скалярного умножения, т. е. ([a, b], c)= (а, [b, c]). 3) Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых вух векторов-сомножителей, т. е.(abc) =-(acb), (abc =-bac), (abc =-cba).Действительно, такая перестановка равносильна перестановке сомножителей в векторном произведении, меняющей у произведения знак. 4) Смешанное произведение ненулевых векторов а, b и с равно нулю огда и только тогда, когда они компланарны. abc =0, то а, b и с— ко.Т.к.эти векторы будут лежать в одной плоскости, а в плоскости нет параллелепипеда, и нет объема. Выражение смешанного произведения через координаты. Пусть заданы векторы a =ахi +ayj +azk, b =bxi +byj +bzk, с=cxi +cyj +czk.

смешанное произведение векторов равно определителю третьего порядка, составленному из координат перемножаемых векторов.

Эллипс. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек F1 и F2есть величина постоянная 2a.Точки пересечения эллипса с его осями симметрии называются вершинами эллипса, центр симметрии -- центром эллипса, отрезок между двумя вершинами, содержащий фокусы, называется большой осью эллипса, половина его длины -- большой полуосью эллипса. Точки F1 и F2 называются фокусами эллипса, расстояние между ними2с= F1 F2.число 2а- длиной большой оси эллипса (соответственно, число а — большой полуосью эллипса). F1M, F2M-фоакльные радиусы.Эксцентриситет е =с/а эллипса характеризует степень вытянутости эллипса. Чем ближе экцентриситет к нулю, тем больше эллипс похож на окружность. Чем ближе эксцентриситет к 1, тем сильнее вытянут эллипс. Е(0, 1)

С эллипсом связаны две замечательные прямые, называемые его директрисами d1 и d2, уравнения которых имеют вид х=+-а/е.

Канон.ур.

Гипербола. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний от которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2a. a и b – полуоси. Точки F1(c, 0) и F2(-c, 0) − c называются фокусами гиперболы. – фокальные радиусы гиперболы; r1 и r2 связаны соотношением |r1-r2|=2a. Эксцентрис: Директрисы: асимптоты: Каноническое:

Парабола:

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки F и заданной прямой d, не проходящей через заданную точку. Точка F называется фокусом параболы, прямая d — директрисой параболы, середина O перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису, — вершиной параболы, расстояние p от фокуса до директрисы — параметром параболы, а расстояние p/2 от вершины параболы до её фокуса — фокусным расстоянием. Прямая, перпендикулярная директрисе и проходящая через фокус, называется осью параболы (фокальной осью параболы). ОтрезокFM, соединяющий произвольную точку M параболы с её фокусом, называется фокальным радиусом точкиM. Отрезок, соединяющий две точки параболы, называется хордой параболы. Для произвольной точки параболы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до директрисы равно1, е=1.

Длина дуги кривой. Рассмотрим элементарную кривую, ктр задана вектор-функцией r=r(t) (1), t= , (2).Длина дуги опред-ся как предел периметра ломаной линии, вписанной в дугу. Рассм, как при замене переменной меняется касат.прямая.

-направл.вектор касат.

, , (3). Рассм (3) =1,

, . С кажд.точкой кривой связвн инвариантный единичный вектор касательной и инвар.параметр s-длина дуги линии.

Определение и уравнение касат.плоскости к поверхности. Все прямые, касающиеся поверхности в данной точке, располагаются в одной плоскости-касат.пл-ти поверхности

Пусть кас.пл-ть содерж.векторы , норм.вектор им перпенд-н. . , т.к.должна правильная коорд.сеть(линии одного семейства пересекают линию друг.сем-ва 1раз), дожны быть неколлинеарны. Исключим точки при ктр , -радиус-век-р точки кас.плос-ти, r-радиус-век-р точки прикосновения: ур-е кас.плоск-ти: смеш.произведение

. ИЛИ определяют все касательные к кривым на поверхности. , => все касательные к кривым на поверх-ти, проход.через общ.точку одной плоскости, а именно плоскости векторов . Эта плоскость наз-ся касательной плоскостью в точке поверх-ти.

Фигура, составленная из касательной, главной нормали и бинормали, а также из трех плоскостей, попарно содержащих эти прямые, называют естественным трёхгранником

. Т.к. , . , должна быть напр.по главной нормали, -коэфф пропорц-ти: . = =a , => , => , кручение, -кривизна. Первая квадратичная форма поверхности. Рассм поверх-ть r=r(u, v), (2) (3), , (4). , E= , F= ), G= . подставить . . 1кв.ф.инвар-на относ-но 1)замены перем-х, 2)преобраз-я сист.коорд.3) перемещ-я пов-ти как твердое тела в простр-ве. Не зависит от x, y, z- инвар.отн.преобр. СК. 1кв.ф.определяет длину дуги линии на пов-ти, то она не меняется при перемещ-ии пов-ти в прост-ве. Угол между двумя линиями. За угол между двумя линиями на пов-ти приним-ся угол м/у их касат.век-рами в точке их пересечения. r=r(u, v), (1). , . Эти дифф-лы напр.по кас-м к соотв.кривым.Угол м/у ними=угол м/у векторами : cos()= =

Кривизна кривой на поверхности. Рассм. век-р кривизны. . Проекция вектора кривизны линии на нормаль пов-ти в точке, ч/з ктр проходит кривая, наз.нормальной кривизной кривой. , , ()= (6). (7), , (8)-норм.кривизна линии. L , , 2кв.ф, -1кв.ф.