Обобщенная К. ф. принимает вид

Интегралы v1(x, t)и v2(x, t)наз. запаздывающими потенциалами простого и двойного слоев.

К. ф. (1) означает, что любое дважды непрерывно дифференцируемое решение и(х, t)уравнения (2) представляется в виде суммы запаздывающих потенциалов простого слоя, двойного слоя и объемного потенциала:

В случае, когда и(х, t)=u(x), f(x, t)=f(x)не зависят от t, К. ф. принимает вид

и дает решение уравнения Пуассона Du=-f(x).

К. ф. широко применяется при решении целого ряда задач. Например, если W.- шар радиуса tс центром в точке х, то формула (1) преобразуется в соотношение

где - среднее значение функции j(х). по поверхности сферы |у-x|=t,

Если j(x) и y(x) - заданные в шаре функции, имеющие непрерывные частные производные 3-го и 2-го порядков соответственно, a f{x, t)дважды непрерывно дифференцируема при |x|< R, то функция и(х, t), заданная формулой (3), является регулярным решением Коши задачи(4) для уравнения (2) при |x|< R и t< R -|x|. Формула (3) также наз. К. ф.

К. ф. в виде

для волнового уравнения

примечательна тем, что из нее следует Гюйгенса принцип: решение (волна) и(х, t)уравнения (5) в точке (х, t)пространства независимых переменных х 1, х 2, х 3, t вполне определяется значениями j, дj/дп и y на сфере |у-x|= t с центром в точке хи радиуса |t|. Пусть дано уравнение нормально гиперболического типа

с достаточно гладкими в нек-рой (т+1)-мерной области Wm+1 коэффициентами aij(x), bj (х), с (х)и правой частью f(x), т. е. уравнение, форма к-рого в любой точке xОWm+1 с помощью невырожденного линейного преобразования приводится к виду

К. ф. обобщена на уравнение (6) в случае, когда число m+1 независимых переменных х 1,..., х т+1 четно [4]. При этом существенным моментом было построение функции j, обобщающей на случай уравнения (6) ньютоновский потенциал 1/r. Для частного случая уравнения (6)

обобщенная К. ф. принимает вид

где у - некоторое положительное число, а - кусочно гладкая граница m-мерной ограниченной области Wm, содержащей внутри себя точку у, п- внешняя нормаль к а;

[y] означает запаздывающее значение y(х, t):