При движении окружность отображается на окружность того же радиуса.

Теорема. Основное свойстве движений. Результатом двух последовательных движений плоскости является движение плоскости.

Афінні перетворення площини. Приклади. Основні властивості. Основна теорема теорії афінних перетворень площини. Аналітична форма задання афінного перетворення площини відносно довільної афінної системи координат. Афінні перетворення площини І і ІІ родую Група перетворень площини до розв’язання задач евклідової геометрії.

Отображение плоскости P в плоскость R — закон или правило, по котрому каждой точке плоскости P сопоставлена некоторая определенная точка на плоскости R. Обозначается . Если нужно указать, что точке А на плоскости Р соответствует точка В на плоскости R, то напишем , в этом случае В — образ точки А, точка А — прообраз точки В. Совсем не обязательно каждая точка плоскости R является образом какой-либо точки. Если для некоторого отображения плоскости P и R совпадают, то такое отображение называется преобразованием плоскости.

Отображение называется взаимно однозначным, если каждая точка плоскости R имеет прообраз, и притом только один.

При выбранных системах координат на плоскостях P и R отображение сопоставляет паре чисел (x, y) пару чисел (x', y'). Задать отображение при выбранных СК — всё равно что задать 2 функции, каждая из которых зависит от 2-х независимых переменных: , .

Преобразование f плоскости Р называется линейным, если на Р существует такая декартова система координат, в которой f может быть записано формулами , (1). Взаимно однозначное линейное преобразование называется аффинным.

Основное свойство аффинных преобразований плоскости.

Теорема 9.1. При аффинном преобразовании плоскости каждая прямая переходит в прямую и параллельные прямые переходят в параллельные прямые.
Теорема 9.2. Аффинное преобразование плоскости определено однозначно, если заданы образы трех точек, не лежащих на одной прямой и эти образы также не располагаются на одной прямой.