Метод обратного переменного шага.

Данный метод называют иногда методом сканирования.

Предположим, что произвольная точка x0 этого промежутка является исходной для поиска точки х* локального минимума и число ε – заданная точность нахождения х*.

Обозначим через Δ ₀ произвольное приращение аргумента х и, сделав один шаг от точки x₀, получим новое значение аргумента х₁= x₀+ Δ ₀.

Сравним значения функции у₀= f(x₀) и у₁= f(x₁) = f(x₀+Δ ₀). Возможны три различных продолжения в приближении к точке х *.

I. у₁ < у₀ - произошло уменьшение значения функции. Тогда примем в качестве нового стартового значения х₀⁽¹⁾ = х₁, и сделаем шаг Δ ₀ от этой точки х₀ ⁽¹⁾ к точке х₁ ⁽¹⁾, т.е. х₁ ⁽¹⁾ = х₀ ⁽¹⁾ + Δ ₀. Если окажется у₁ (1) < у₀ ⁽¹⁾, то снова сделаем шаг Δ ₀ от новой стартовой точки х₀ ⁽²⁾ = х₁ ⁽¹⁾ и т.д. На некотором k-м шаге произойдет увеличение значения функции, т.е. у1^(k)> у₀^(k), и если при этом|Δ ₀| < ε, то принимаем х * ≈ х₀ ^(k). В противном случае полагаем, что точка x₀ ^(k) является исходной для продолжения вычислений по следующей схеме.

II. у₁> у₀ - значение функции возросло. В этом случае полагаем, что начальной точкой вычислений является точка х₀= х₁, а меньшим шагом в продолжении счета– величина Δ ₁= - β Δ ₀, где β – некоторое положительное число, β < 1. Далее производим вычисления по схеме I или II, вплоть до достижения заданной точности.

Поиск минимума функции одной переменной указанным методом представляет собой колебательный процесс, совершающийся около точки х* локального минимума функции f(x) с непрерывно меняющейся амплитудой.

Пример 13.1. Поиск экстремума методом сканирования. В качестве исследуемой функции возьмем параболу y = 3x²+2, имеющую минимальное значение y_min=y(0)=2.

Ниже приведены исходные данные и графическое отображение как исследуемой функции так и процесса поиска минимума.