Функции Уолша.

Преобразования, обсуждавшиеся ранее, были основаны на функциях косинус и синус. Намного проще и быстрее считаются преобразования, основанные на импульсно-подобных сигналах, которые принимают значения только ±1. Кроме того, они больше подходят для описания сигналов с нарушением непрерывности, которые встречаются, например, в изображениях. И. наоборот, они менее пригодны для описания непрерывных сигналов и могут не быть инвариантными по фазе, а если это так. полученный спектр может искажаться. Поэтому такие сигналы обычно используются при обработке изображений (астрономия и спектроскопия), кодировании сигналов и фильтрации.

Точно так же. как ДПФ основывается на наборе гармонических косинусоидальных и синусоидальных сигналов, дискретное преобразование Уолша (ДПУ) основано на наборе гармонических прямоугольных импульсов. которые называются функциями Уолша. Однако для прямоугольных импульсов частота не определена, поэтому используется аналоговый термин «последовательность». Последовательность - это половина среднего числа переходов через нуль за единицу времени. На рис. 6.4 показаны функции Уолша до порядка N= 8. расположенные по возрастанию.

Рисунок 6.4 - Упорядоченные по возрастанию функции Уолша до n = 7

В таком виде их называют упорядоченными по Уолшу. Функция Уолша со временем t и порядком n обозначается WAL(n, t). Изучая рис. 6.4. видим. что существует равное количество четных и нечетных функций Уолша. точно так же. как и косинусоидальных и синусоидальных компонентов ряда Фурье. Четные функции WAL(2k, t) записываются как CAL(2k, t), а нечетные функции WAL(2k+1, t) записываются как SAL(2k+1, t), где к = 1, 2,....N/2-1.

Любой сигнал f(t) можно разложить по набору функций Уолша (аналог разложения в ряд Фурье) как

где a_i и b_i — коэффициенты ряда.