Равномерная дискретизация. Теорема Котельникова

Правило выбора предельного шага при равномерной дискретизации с использованием модели сигнала с ограниченным спектром сформулировано академиком В. А. Котельниковым: «Любая непрерывная функция s(t), спектр которой ограничен частотой F_max полностью определяется последовательностью своих значений в моменты времени, отстоящие друг от друга на интервал » Кроме того, теорема Котельникова дает и способ точного восстановления сигнала по его отсчетам.

Доказательство

причем при (1)

Разложим функцию в частотной области на конечном интервале (с периодом ) в комплексный ряд Фурье:

где (2)

(3)

Сравнивая интегралы в (3) и (1), видно, что они равны при , т. е. тогда

(4)

Подставляем (4) в (2), а затем в (1)

т. к. суммирование по от -¥ до +¥, то можно заменить знак у.

(5)

Максимальные значения членов ряда будут при и равны , при этом все остальные члены ряда равны нулю, т. е. при функция s(t) точно передается рядом. Во все другие моменты времени необходимо суммировать бесконечное число отсчетов, чтобы передать s(t) точно.

Представление сигнала в виде ряда Котельникова (5) является частным случаем разложения . Роль коэффициента выполняют отсчеты Базисными являются функции вида Они называются функциями отсчетов. Функции отсчетов ортогональны, т. к.

Спектральная плотность функции отсчета на частотной шкале есть прямоугольник шириной (идеальный фильтр н.ч.). Теорема Котельникова распространяется на непрерывный стационарный случайный процесс с ограниченным спектром

Такой процесс представляется (заменяется) суммой квазидетерминированных процессов, где роль ортогональных детерминированных функций выполняют функции отсчета, а случайных коэффициентов - величины выборок:

, где

Т. о., при указанных ограничениях случайный процесс полностью определяется счетным множеством случайных величин - координат процесса.

Практическое осуществление дискретизации сигнала рядом Котельникова и дальнейшее его восстановление сводится к следующему. На передающей стороне через интервалы определяются мгновенные значения сигнала и передаются в канал связи в виде d -импульсов с площадью, равной отсчету На приемной стороне такая последовательность импульсов пропускается через идеальный фильтр нижних частот При длительной передаче сигнал на выходе фильтра будет точно воспроизводить переданный непрерывный сигнал

Искажения восстановленного (по Котельникову) сигнала могут происходить по следующим причинам. Реальный сигнал имеет конечную длительность и, следовательно, обладает неограниченным спектром. Дискретизация его с интервалом ограничивает спектр и, следовательно, искажает воспроизведение сигнала. С другой стороны, и при передаче непрерывного сигнала вследствие ограничения полосы пропускания аппаратуры сигнал искажается. Однако при дискретизации появляется дополнительное искажение за счет конечности числа отсчетов за ограниченное время длительности сигнала, в то время как их должно быть бесконечно много, т. к. ограничению спектра сигнала соответствует увеличение его длительности до бесконечности. Такое двойное искажение хотя и может частично компенсироваться, но создает трудности для теоретического анализа погрешности передачи.

Несмотря на невозможность точного воспроизведения сигнала ограниченной длительности (чем более короткий сигнал, тем больше ошибка воспроизведения), дискретизация и восстановление по Котельникову используется весьма широко при преобразовании сигнала в цифровую форму.

Сигнал — материальный носитель информации, используемый для передачи сообщений в системе связи. Сигнал может генерироваться, но его приём не обязателен, в отличие отсообщения, которое должно быть принято принимающей стороной, иначе оно не является сообщением. Сигналом может быть любой физический процесс, параметры которого изменяются в соответствии с передаваемым сообщением.

Различные параметры физических процессов с помощью датчиков обычно преобразуются в электрические сигналы. Как правило, ими являются непрерывно изменяющиеся ток или напряжение, но возможно поступление и импульсных сигналов, как, например. в радиолокации.

Печатный текст отображается буквами, цифрами и другими знаками.

Хотя поступающую информацию можно хранить, передавать и

обрабатывать как в виде непрерывных, так и в виде дискретных сигналов, на современном этапе развития информационной техники предпочтение

отдается дискретным сигналам, поэтому сигналы, как правило,

преобразуются в дискретные. С этой целью каждый непрерывный сигнал

подвергается операциям квантования по времени (дискретизации) и по

уровню.

Понятие Дискретность - (от лат discretus — разделённый, прерывистый)— свойство, противопоставляемое, непрерывностти. Дискретность - всеобщее свойство материи. Под дискретностью понимают:

1. Нечто, изменяющееся между несколькими различными стабильными состояниями подобно выключателю, который может быть либо включён, либо выключен.

2. Нечто, состоящее из отдельных частей, прерывистость, дробность. Например, дискретный спектр, дискретные структуры, дискретные сообщения.

Дискретизация- это преобразование непрерывных изображений и звука в набор дискретных значений в форме кодов.