Варіаційні принципи

Варіаційні принципи застосовуються до аналізу різноманітних явищ. Суть кожного з них полягає в тому, що зі всіх допустимих для досліджуваної системи станів реалізується той, який відповідає екстремуму певного функціоналу (для кожного принципу свого). Розглянемо два таких принципи.

Принцип Ферма в оптиці: зі всіх можливих шляхів, які сполучають точки A і B, світло вибирає той, що відповідає найменшому часу руху:

Тут c — швидкість світла у вакуумі, n — показник заломлення світла в даному середовищі, t — час.

Форма кривої AB визначається мінімумом вказаного функціоналу. В оптично однорідному середовищі — це пряма лінія.

Принцип Гамільтона-Остроградського (принцип найменшої дії) в механіці: дійсний рух системи виділяється зі всіх допустимих рухів тим, що функціонал, який називається дією, досягає при цьому мінімуму.

Тут L — функція Лагранжа, що є різницею кінетичної T і потенціальної U енергій: .

Візьмемо для прикладу найпростішу механічну систему, що складається тільки з однієї матеріальної точки масою m, яка рухається вздовж осі під дією сили з потенціалом U (x). Розглянемо два випадки:

а) Нехай система консервативна і її функція Лагранжа не залежить явно від часу t (однорідність часу). Тоді рівняння Ейлера для функціоналу S спрощується і набуває вигляду: де — швидкість, C=const.

Але

Звідси . Тобто, закон збереження енергії виступає наслідком варіаційного принципу найменшої дії.

б) Нехай функція Лагранжа L не змінюється при паралельному перенесенні системи (однорідність простору). Тоді у функціоналі S підінтегральна функція не залежить явно від невідомої функції і рівняння Ейлера спрощується, набуваючи вигляду: Але — імпульс системи. Звідси . Тобто, закон збереження імпульсу теж виступає наслідком варіаційного принципу найменшої дії.

Задачі для самостійної роботи

1. Використовуючи достатні умови, дослідити на екстремум функціонал:

1.1.

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

1.6.

1.7.

1.8.

1.9.

1.10.

1.11.

1.12.

1.13.

1.14.

1.15.

2. Знайти допустимі екстремалі задачі Лагранжа:

2.1.

2.2.

2.3.

3. Знайти допустимі екстремалі ізопериметричної задачі:

3.1.

3.2.

3.3.

4.1. Знайти допустиму екстремаль функціоналу при умові, що лівий і правий кінці належать відповідно лініям .

4.2. Знайти допустиму екстремаль функціоналу при умові, що лівий і правий кінці належать відповідно лініям .

4.3. Знайти допустиму екстремаль функціоналу з рухомими кінцями при умові, що лівий і правий кінці належать відповідно лініям .

5.1. Знайти найкоротшу відстань від точки до параболи .

5.2. Знайти найкоротшу відстань між колом і прямою .

5.1. Знайти найкоротшу відстань між параболою і прямою .

Запитання для самоконтролю

та підготовки до екзамену (заліку)

1. Що називається функціоналом?

2. Що таке відносний (абсолютний) мінімум (максимум) функціоналу? Що таке сильний (слабкий) екстремум?

3. Сформулюйте перше і друге означення варіації функціоналу. Що називається другою варіацією функціоналу?

4. Як ставиться найпростіша задача варіаційного числення?

5. У чому полягає необхідна умова екстремуму функціоналу у варіаційній формі?

6. Запишіть рівняння Ейлера. Який його порядок?

7. Як ставиться найпростіша задача варіаційного числення для функціоналів, що залежать від кількох функцій?

8. Запишіть систему рівнянь Ейлера-Лагранжа.

9. Як ставиться найпростіша варіаційна задача для функціоналів, що залежать від похідних вищих порядків?

10. Запишіть рівняння Ейлера-Пуассона. Який його порядок?

11.У чому полягає достатня умова екстремуму функціоналу у варіаційній формі?

12.Сформулюйте посилені достатні умови Лежандра екстремуму функціоналу.

13. Як ставиться задача Лагранжа на умовний екстремум?

14. У чому полягає метод множників Лагранжа стосовно розв'язування задачі Лагранжа на умовний екстремум?

15. Що таке ізопериметрична задача на умовний екстремум?

16. У чому полягає метод множників Лагранжа стосовно розв'язання ізопериметричної задачі?

17. У чому полягає принцип взаємності?

18. Як ставиться варіаційна задача з рухомими кінцями?

19. Сформулюйте природні крайові умови.

20. Сформулюйте умови трансверсальності для випадку, коли кінці шуканої екстремалі можуть ковзати вздовж заданих ліній.

21. У чому полягає принцип Ферма в оптиці?

22. Сформулюйте принцип найменшої дії в механіці.

Список рекомендованої літератури

1. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. — М.: Наука, 1969. — 424 с.

2. Мышкис А.Д. Математика для втузов (специальные курсы). —М.: Наука, 1971. — 632 с.

3. Смирнов В.И. Курс высшей математики. т.4, ч.1. —М.: Наука, 1974. — 336 с.

4. Высшая математика / П.Ф.Овчинников, Б.М.Лисицын, В.М.Михайленко. —К.: Вища шк., 1989. — 676 с.

5. Пак В.В., Носенко Ю.Л. Вища математика. —К.: Либідь, 1996. — 440 с.

6. Цлаф Л.Я. Вариационное исчисление и интегральные уравнения. —М.: Наука, 1970. — 191 с.

7. Вариационное исчисление (задачи и упражнения) / М.Л.Краснов, Г.И.Макаренко, А.И.Киселев. —М.: Наука, 1973. — 192 с.

8. Высшая математика: Сборник задач /Х.И.Гаврильченко, А.Ф.Кривой, П.С.Кропивянский и др. — К.: Вища шк., 1991. — 455 с.

9. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Ч.II / П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.Я.Кожевникова. —М.: Высш.шк., 1997. — 416 с.

ЗМІСТ