Система уравнений Максвелла и электромагнитные волны в вакууме

Однородное уравнение Д'Аламбера для электромагнитных волн в вакууме может быть получено как следствие системы уравнений классической электродинамики Максвелла, интегральная форма которых имеет вид (1.7)

Физический смысл этих уравнений состоит в следующем. В качестве неизвестных обычно выступают векторы электрического E и магнитного B поля. Знание этих векторов в каждой точке пространства позволяет рассчитывать силы, действующие на частицу, если известны ее заряд и скорость движения. Векторы D и H носят вспомогательный характер и вводятся в теорию при описании полей в веществе с целью упрощения формул и придания им вида, сходного с уравнениями для вакуума.

Первое из уравнений системы (1.7) по сути выражает закон Кулона и утверждает, что потенциальное электрическое поле создается электрическими зарядами q. Аналогичное уравнение для потока вектора B отражает факт отсутствия в природе магнитных зарядов. Уравнение для циркуляции вихревого электрического поля является математическим выражением закона электромагнитной индукции Фарадея. Последнее уравнение утверждает, что вихревое магнитное поле может создаваться токами I и переменным во времени электрическим полем.

Для записи системы уравнений Максвелла в дифференциальной форме удобно использование векторного оператора пространственного дифференцирования (1.8). Записанная с его помощью система уравнений (1.9) принимает весьма компактный вид и удобна для дальнейшей работы, поскольку позволяет выполнять действия с дифференциальными операциями векторного анализа почти так же как с обыкновенными векторами. Для справки так же приведена расшифровка использованной символической записи операций векторного анализа (1.10).

Установленные Фарадеем и Максвеллом факты генерации вихревых электрических и магнитных полей изменяющимися во времени соответственно магнитным и электрическим полем обуславливают возможность существования электромагнитных волн в пустом пространстве. Действительно, изменяющееся электрическое поле порождает переменное магнитное, которое в свою очередь создает электрическое и т.д. Математическим выражением возможности описанного процесса является переход от системы уравнений Максвелла в пустом пространстве (1.11) (однородных дифференциальных уравнений первого порядка)

к однородному уравнению Д'Аламбера, представляющему собой однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка, имеющего решения в виде волн.

Для получения уравнения Д'Аламбера достаточно исключить одно из полей (E или B) в из двух уравнений, содержащих роторы. Например, это можно сделать, продифференцировав одной из них и подставив в него выражение для производной из другого (1.12). (Частные производные по координатам и по времени, разумеется, можно менять местами!)

Возникшее двойное векторное произведение (ротор от ротора электрического поля) можно упростить, воспользовавшись известным векторным тождеством “ВАС-САВ” и уравнениями Максвелла для дивергенций.

Полученное однородное уравнение Деламбера (1.13) содержит оператор Лапласа  и вторую производную по времени.

Уравнение Д'Аламбера для магнитного поля выводится аналогично.