Скалярное поле

Если каждой точке заданной области пространства (чаще всего размерности 2 или 3) поставлено в соответствие некоторое (обычно — действительное) число , то говорят, что в этой области задано скалярное поле. Другими словами, скалярное поле — это функция, отображающая в (скалярная функция точки пространства).

Чаще других в приложениях встречаются:

· Функция трёх переменных: (скалярное поле на (в) трёхмерном пространстве, называемое иногда^[1] пространственным полем).

· Функция двух переменных: (скалярное поле на (в) двумерном пространстве, называемое иногда^[1] плоским полем).

· В физике и многих других приложениях поле, вообще говоря, зависит также от времени^[2]:

,

при этом операции над полем (такие, как градиент) используются по-прежнему 3-мерные, то есть, несмотря на добавление еще одной независимой переменной, по существу при этом поле рассматривается как поле в пространстве размерности 3, а не 4. Те же соображения касаются случаев, когда поле зависит, кроме пространственных координат, ещё от каких-то других параметров: эти параметры могут быть явно указаны в функциональной зависимости, что, однако, не меняет размерности основного пространства, в котором рассматривается поле.

· В современной теоретической физике принято явным образом рассматривать время как координату, формально равноправную трем пространственным^[3], а совокупность пространства и времени рассматривается явно как единое четырехмерное пространство (называемое пространством-временем). Таким образом, говоря о скалярном поле в современной теоретической физике, по умолчанию подразумевают поле на четырехмерном пространстве или многообразии, т. е. функцию, зависимую от четырех формально равноправных координат:

(одна из этих четырех координат равна или пропорциональна времени), более того, при этом, если используют термин скалярное поле, еще и подразумевается, что - лоренц-инвариантно. Все операции над полем (такие, как градиент) при этом используются в их четырехмерном виде.

Обычно от скалярной функции требуется непрерывность или дифференцируемость достаточное количество раз (то есть функция должна принадлежать ).

Примеры скалярных полей на трёхмерном пространстве:

· температура (подразумевается, что она вообще говоря разная в разных точках пространства);

· электростатический потенциал;

· потенциал в ньютоновской теории тяготения;

· поле давления в жидкой среде.

Примеры плоских (двумерных) скалярных полей:

· глубина моря, отмеченная каким-либо образом на плоской карте;

· плотность заряда на плоской поверхности проводника.

· Обычно под скалярным полем понимается поле, инвариантное при преобразованиях координат (иногда, и нередко — при определенном классе преобразований координат, например, при преобразованиях, сохраняющих объем, ортогональных преобразованиях и т. п.; но не менее редко имеется в виду инвариантность скалярного поля при произвольных преобразованиях координат, ограниченных, быть может, только гладкостью). (См. скаляр).

· В этом смысле далеко не каждая вещественнозначная функция координат является скалярным полем. Простейший пример: в этом смысле не является скалярным полем одна из координатных компонент векторного поля, так как при изменении выбора координат (например, при повороте координатных осей) она не останется неизменной (то есть не является инвариантом преобразований координат).

· Под скалярным полем в современной теоретической физике понимается обычно (если речь идет о фундаментальных полях) фундаментальное поле скаляра пространства Минковского (лоренц-инвариантное поле) или поле, инвариантное относительно общекоординатных преобразований, (обычно первое и второе практически совпадает).

· Практическими синонимами термина скалярное поле в этом смысле являются термины поле спина ноль, частица спина ноль, скалярная частица (последние, всё же несколько разводя эти близкие понятия, называют также возбуждениями скалярного поля).

· Экспериментально (пока) не открыто ни одно фундаментальное скалярное поле. Однако такие поля играют немалую роль в теоретических построениях (существуют важные гипотетические скалярные поля, например, поле Хиггса), а также их наличие (наряду с векторными и тензорными полями, понимаемыми в том же смысле и наблюдаемыми реально) необходимо для полноты классификации фундаментальных полей.

· В новых физических теориях (таких, как например теория струн) часто имеют дело с пространствами и многообразиями разной размерности, в том числе и достаточно высокой (больше четырех), и полями, в том числе скалярными полями, на таких пространствах.

Поверхность уровня[править | править вики-текст]

Скалярное поле можно представить графически с помощью поверхностей уровня (также называемой изоповерхностями).

Поверхностью уровня скалярного поля называется множество точек пространства, в которых функция u принимает одно и то же значение c, то есть поверхность уровня определяется уравнением . Набор поверхностей уровня для разных c дает наглядное представление о конкретном скалярном поле, для которого они построены (изображены)^[4], кроме того, представление о поверхностях уровня дает определенный дополнительный геометрический инструмент для работы со скалярным полем, который может использоваться для вычислений, доказательства теорем итп. Пример: эквипотенциальная поверхность.

Для поля на двумерном пространстве аналогом поверхности уровня является линии уровня. Примеры: изобата, изотерма, горизонталь на географической карте и прочие изолинии.

Поверхностями уровня для скалярного поля на пространстве большей размерности являются гиперповерхности размерности на единицу меньшей, чем размерность пространства.

Градиент[править | править вики-текст]

Основная статья: Градиент

Направление скорейшего возрастания поля указывает вектор градиента, обозначаемый стандартно

,

или

,

с компонентами:

.

(Приведена формула для трёхмерного случая, на другие размерности она обобщается прямо и тривиально).

· Если координаты не декартовы (базис не ортонормирован) существенно заметить, что приведенные выше компоненты градиента есть компоненты ковариантные, т.е. градиент скалярного поля есть ко-векторное поле. Для ортономированных базисов это не существенно, так как для них понятие вектора и ко-вектора можно считать совпадающими, как и ковариантные и контравариантные координаты.

Абсолютная величина вектора градиента u есть производная u по направлению скорейшего роста (скорость роста u при движении с единичной скоростью в этом направлении).

Градиент всегда перпендикулярен поверхностям уровня (в двумерном случае — линиям уровня). Исключение — особые точки поля, в которых градиент равен нулю.

2, Векторные линии[править | править вики-текст]

Основная статья: Силовые линии векторного поля

Силовые линии магнитного поля

Интегральной кривой (также — векторной линией, для силовых полей — силовой линией, для поля скорости движения жидкости или газа — линией тока; первые термины являются общими, остальные — их синонимами в зависимости от контекста) для поля называется кривая , касательная к которой во всех точках кривой совпадает со значением поля:

Для силовых полей силовые линии наглядно показывают направление воздействия полевых сил.

Если в достаточно малой области пространства поле нигде не обращается в нуль, то через каждую точку этой области проходит одна и только одна силовая линия. Точки, где вектор поля нулевой — особые, в них направление поля не определено, и поведение силовых линий в окрестности этих точек может быть различным: возможно, через особую точку проходит бесконечно много силовых линий, но возможно, что не проходит ни одна.

Векторное поле называется полным, если его интегральные кривые определены на всём многообразии.

Векторное поле — это отображение, которое каждой точке рассматриваемого пространства ставит в соответствие вектор с началом в этой точке. Например, вектор скорости ветра в данный момент времени изменяется от точки к точке и может быть описан векторным полем.

3, Поток вектора  величина скалярная (алгебраическая). В сущности, понятие потока вектора аналогично общежитейскому понятию потока, применяемому, например, к текущей жидкости. Пусть задано поле скоростей жидкости v (скажем, идет дождь, и v  скорость движения дождевых капель). Рассмотрим какую-нибудь площадку (например, ветровое стекло автомобиля). Введем аналогично вышеописанному поток вектора скорости жидкости через площадку d S = n dS:

Диверге́ нция (от лат. divergere — обнаруживать расхождение) — дифференциальный оператор, отображающий векторное поле на скалярное (то есть, в результате применения к векторному полю операции дифференцирования получается скалярное поле), который определяет (для каждой точки), «насколько расходится входящее и исходящее из малой окрестности данной точки поле», точнее, насколько расходятся входящий и исходящий потоки.

Если учесть, что потоку можно приписать алгебраический знак, то нет необходимости учитывать входящий и исходящий потоки по отдельности, всё будет автоматически учтено при суммировании с учётом знака. Поэтому можно дать более короткое определение дивергенции:

дивергенция — это линейный дифференциальный оператор на векторном поле, характеризующий поток данного поля через поверхность достаточно малой (в условиях конкретной задачи) окрестности каждой внутренней точки области определения поля.

Оператор дивергенции, применённый к полю , обозначают как

или

.

4, 7. ЦИРКУЛЯЦИЯ И РОТОР ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ 7.1. Криволинейные интегралы 2-го рода Пусть в некоторой области задано векторное поле a = axi + ayj + azk и какая-либо кривая L. Разобьем кривую каким-либо способом на элементарные участки Dli. На каждом участке возьмем произвольную точку Pi и составим интегральную сумму:, (7.1) где q(Pi) – единичный вектор, совпадающий по направлению с касательной, проведенной к кривой L в точке Pi. Если существует предел такой суммы при Dli®0, то этот предел называется криволинейным интегралом 2-го рода и обозначается символом, или, где dl=qdl. Поскольку единичный направляющий вектор q имеет своими координатами направляющиеся косинусы q={cosa, cosb, cosg}, то. (7.2) Этот интеграл представляет собой не что иное, как криволинейный интеграл 1-го рода. Таким образом, вычисление криволинейных интегралов 2-го рода можно свести к вычислению криволинейных интегралов 1-го рода. В отличие от криволинейных интегралов 1-го рода криволинейные интегралы 2-го рода зависят от направления, по которому совершается интегрирование вдоль дуги кривой AB:. Криволинейные интегралы 2-го рода (по аналогии с поверхностными интегралами 2-го рода) можно записать в виде, (7.3) где учтено, что cosadl=dx, cosbdl=dy, cosgdl=dz. Отметим, что здесь уже не обязательно писать знак ± перед интегралами, как мы это делали в случае поверхностных интегралов 2-го рода. Это связано с тем, что в дальнейшем это будет учтено при проецировании кривой L на координатные оси. Замечание 1. Криволинейные интегралы 2-го рода (в соответствии с формулой (7.3)) часто записывают в виде, где P, Q, R – какие-то функции, заданные на кривой L. В связи с этим криволинейные интегралы 2-го рода иногда называют криволинейными интегралами по координатам, а криволинейные интегралы 1-го рода иногда – криволинейными интегралами по длине. Криволинейный интеграл 2-го рода легко сводится к определенному интегралу, если уравнение кривой L задано параметрически: x=x(t), y=y(t), z=z(t). Если при движении по кривой L от точки A до точки B параметр t меняется от t1 до t2, то криволинейный интеграл 2-го рода вычисляется по следующей формуле:. (7.4) Пример 7.1. Вычислить работу векторного поля a = 2x2yi – xy2j от начала координат O до точки A(1; 1), если движение происходит вдоль: а) отрезка прямой [OA]; б) дуги параболы; в) ломаной OBA, где B(1; 0) (см. рис. 7.1). Решение. а) Уравнение прямой OA имеет вид y=x. Пусть x=t, тогда уравнение прямой в параметрическом виде примет вид: x=t, y=t, причем при движении от A до B параметр t будет меняться от 0 до 1. Тогда совершенная работа будет равна. б) Пусть x=t2, y=t, тогда x=t2, y=t, 0£ t£ 1. Далее получаем. в) Уравнение прямой (OB) имеет вид y=0 (0£ x£ 1); уравнение прямой (BA) имеет вид x=1 (0£ y£ 1). Тогда,. В результате, получаем,. Замечание 2. Если в случае двухмерных полей уравнение линии описывается уравнением y=y(x), а переменная x изменяется от a до b, то криволинейный интеграл 2-го будет вычисляться по формуле:. (7.5) Предыдущий пример можно было бы решить и при помощи этой формулы, не вводя параметр t. Как уже отмечалось, особое значение в математике и ее приложениях играют криволинейные интегралы по замкнутой кривой (контуру). Такие интегралы называются циркуляциями и обозначаются. Пример 7.2. Вычислить циркуляцию поля скоростей вращающегося твердого тела: v = –wyi+wxj вдоль окружности, лежащей в плоскости xOy: Решение. Запишем уравнение окружности в параметрическом виде Если движение по окружности не указано, то оно должно происходить против часовой стрелки. Тогда параметр будет изменяться от 0 до 2p. В результате, получим, где S – площадь круга. Этот результат является частным случаем более общей теоремы, утверждающей, что циркуляция в поле скоростей вращающегося твердого тела не зависит от формы контура и находится в прямой зависимости от площади, ограниченной этим контуром. Пример 7.3. Вычислить циркуляцию магнитного поля, образуемого прямолинейным бесконечным проводником с постоянным током I:. вдоль окружности, лежащей в плоскости xOy: Решение. Выражение для магнитного поля получается из закона Био-Савара-Лапласа, если ось Oz направить вдоль проводника. Записывая уравнение окружности в параметрической форме, как в предыдущем примере, получим. Этот результат также является частным случаем более общей теоремы, утверждающей, что циркуляция магнитного поля проводника с током не зависит от выбора контура обхода вокруг проводника, а зависит от силы тока в проводнике. 7.2. Ротор векторного поля Понятие дивергенции как локального свойства векторного поля было введено при рассмотрении потока векторного поля на замкнутой поверхности. Аналогично можно ввести соответствующую характеристику при рассмотрении циркуляции векторного поля. Рассмотрим некоторую точку M и векторное поле a. Выберем некоторое направление, характеризуемое единичным вектором n и плоскость, перпен­дикулярную к вектору n и проходящую через точку M. Окружим точку M контуром L, лежащим в заданной плоскости. Вычислим циркуляцию векторного поля по этому контуру и возьмем отношение этой циркуляции к площади S, ограниченной контуром L: Найдем теперь предел этого отношения при S®0, при условии, что контур L стягивается в точку M, не выходя из плоскости. Этот предел называется ротором векторного поля a в точке M:. (7.6) Замечание 3. Ротор есть характеристика " вращательной составляющей" векторного поля, поэтому его обозначают как rot. Однако иногда вместо слова ротор используют термин " вихрь" и обозначают символом curl. Выведем теперь формулу для ротора в декартовой системе координат. Пусть n совпадает с направлением оси Oz, а контуром L является прямоугольник со сторонами Dx и Dy, при этом контур обходится против часовой стрелки (см. рис. 7.3). Тогда получим. Для первого слагаемого получаем (отрезки DA и BC можно не учитывать, поскольку здесь x=const и dx=0). Далее. Аналогично получаем для второго слагаемого. В результате, находим. Аналогично вычисляем проекции на другие оси координат:,. В векторной форме это можно следующим образом:. (7.7) Эту формулу можно записать более компактно в символической форме:. (7.8) Формула (7.7) получается из (7.8) путем разложения определителя по первой строке. Пример 7.4. Вычислить ротор векторного поля a=x2y3i+j+zk в точке M(1; 1; 1). Решение. Записываем. Таким образом,. Пример 7.5. Найти ротор поля скоростей вращающего тела v=–wyi+wxj. Решение. Поскольку vx=–wy, vy=wx, vz=0, то. Итак, ротор скоростей твердого тела в любой его точке равен удвоенной угловой скорости. Найденный механический смысл ротора имеет более широкое значение. Например, колесо с лопастями в потоке жидкости будет иметь максимальную скорость вращения, если ось вращения будет направлена вдоль rota, при этом скорость вращения будет равна.

5. Оператор Гамильтона.

Вспомним определение градиента скалярной функции u = u(x, y, z):

grad u =

Определим оператор, стоящий в скобках в правой части этого равенства, так:

Определение 16.1. Оператор

(16.1)

называется оператором Гамильтона или набла-оператором и обозначается символом s

(«набла»).

При применении оператора Гамильтона удобно рассматривать его как «символический вектор» и использовать различные операции над векторами. Например:

1) если умножить «вектор» sна скалярную функцию и, то получим градиент этой функ-ции: su = grad u; (16.2)

2) составив скалярное произведение s на вектор A = {Ax, Ay, Az}, получим дивергенцию вектора A:

s· A = ; (16.3)

3) перемножим теперь векторы s и А векторным образом. Результатом будет ротор вектора А:

s× А = (16.4)

4) рассмотрим скалярное произведение векторов s и su = grad u:

s· (su) = div (grad u) = =

Определение 16.2. Оператор

Δ = s· s = s² = (16.5)

называется оператором Лапласа и обозначается символом Δ («дельта»).

Определение 16.3. Уравнение

(16.6)

называется уравнением Лапласа, а функция, удовлетворяющая ему – гармонической функцией.

Замечание. Отметим еще раз, результатом применения к скалярной функции и оператора Гамильтона является вектор, а оператора Лапласа – скаляр.

Потенциальные векторные поля.

Определение 16.4. Векторное поле A = {Ax, Ay, Az} называется потенциальным, если вектор А является градиентом некоторой скалярной функции u = u(x, y, z):

A = grad u = . (16.7)

При этом функция и называется потенциалом данного векторного поля.

Примерами потенциальных полей являются поле тяготения точечной массы т, помещен-ной в начале координат, электрическое поле точечного заряда е, находящегося в начале координат, и другие.

Выясним, при каких условиях векторное поле является потенциальным. Так как из (16.7) следует, что то

так как смешанная производная второго порядка не зависит от порядка дифференцирования. Из этих равенств легко получаем, что

rot A = 0 – (16.8)

· условие потенциальности векторного поля.

Определение 16.5. Векторное поле A = {Ax, Ay, Az}, для которого rot A = 0, называется безвихревым.

Из предыдущих рассуждений следует, что любое потенциальное поле является безвихре-вым. Можно доказать и обратное, то есть то, что любое безвихревое поле есть поле потен-циальное.

Условия независимости криволинейного интеграла 2-го рода

от пути интегрирования.

Рассмотрим криволинейный интеграл 2-го рода , где L – кривая, соединяющая точки M и N. Пусть функции P(x, y) и Q(x, y) имеют непрерывные частные производные в некоторой области D, в которой целиком лежит кривая L. Определим условия, при которых рассматриваемый криволинейный интеграл зависит не от формы кривой L, а только от расположения точек M и N.

Проведем две произвольные кривые MPN и MQN, лежащие в области D и соединяющие точки M и N (рис.1).

Предположим, что , то есть

Тогда , где L – замкнутый контур, состав-ленный из кривых MPN и NQM (следовательно, его можно считать произвольным). Таким образом, условие независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегриро-вания равносильно условию, что такой интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю.

Теорема 16.1. Пусть во всех точках некоторой области D непрерывны функции P(x, y) и Q(x, y) и их частные производные и . Тогда для того, чтобы для любого замкну-того контура L, лежащего в области D, выполнялось условие

,

необходимо и достаточно, чтобы = во всех точках области D.

Доказательство.

1) Достаточность: пусть условие = выполнено. Рассмотрим произвольный замкну-тый контур L в области D, ограничивающий область S, и напишем для него формулу Грина:

.

Итак, достаточность доказана.

2) Необходимость: предположим, что условие выполнено в каждой точке области D, но найдется хотя бы одна точка этой области, в которой - ≠ 0. Пусть, например, в точке P(x0, y0) - > 0. Так как в левой части неравенства стоит непре-рывная функция, она будет положительна и больше некоторого δ > 0 в некоторой малой области D`, содержащей точку Р. Следовательно,

Отсюда по формуле Грина получаем, что , где L` - контур, ограничивающий область D`. Этот результат противоречит условию . Следовательно, = во всех точках области D, что и требовалось доказать.

Замечание 1. Аналогичным образом для трехмерного пространства можно доказать, что необходимыми и достаточными условиями независимости криволинейного интеграла

от пути интегрирования являются:

. (16.9)

Замечание 2. При выполнении условий (16.9) выражение Pdx + Qdy +Rdz является полным дифференциалом некоторой функции и. Это позволяет свести вычисление криволинейного интеграла к определению разности значений и в конечной и начальной точках контура интегрирования, так как

При этом функцию и можно найти по формуле

(16.10)

где (x0, y0, z0) – точка из области D, a C – произвольная постоянная. Действительно, легко убедиться, что частные производные функции и, заданной формулой (16.10), равны P, Q и R.

Пример. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода по произвольной кривой, соединяющей точки (1, 1, 1) и (2, 3, 4).

Убедимся, что выполнены условия (16.9):

Следовательно, функция и существует. Найдем ее по формуле (16.10), положив x0 = y0 = z0 = 0. Тогда

. Таким образом, функция и определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Примем С = 0, тогда u = xyz. Следовательно,

Соленоидальные и гармонические векторные поля.

Определение 16.6. Векторное поле A = {Ax, Ay, Az} называется соленоидальным в области D, если в каждой точке этой области

div A = 0. (16.11)

Замечание. Так как дивергенция характеризует плотность источников поля А, то в облас-ти, где поле соленоидально, нет источников этого поля. Примером соленоидального поля может служить поле точечного заряда е во всех точках, кроме точки, где расположен заряд.

Условием соленоидальности поля является требование, что вектор А является ротором некоторого вектора В: A = rot B. Докажем это.

Действительно, если , то

div A =

Векторные дифференциальные операции второго порядка

Действие оператора на скалярное или векторное поле порождает новые поля - векторные , и скалярное поле . К этим полям также можно применить операции вычисления градиента, дивергенции и ротора. Всего, таким образом, можно построить пять различных комбинаций , , , , . Такие комбинации называются дифференциальными векторными операциями второго порядка. Рассмотрим более подробно наиболее важные из них.

1. .

(134)

Оператор называется оператором Лапласа и (134) дает его определение в декартовой системе координат. С помощью оператора оператор Лапласа можно записать в бескоординатной, векторной форме:

(135)

Оператор Лапласа, в отличие от вектора является скалярным оператором и поэтому может применяться и к векторным, и к скалярным полям. Таким образом, выражение имеет смысл, так как умножение вектора на скаляр допустимо правилами векторной алгебры.

2.

(136)

3. .

(137)

Тождества 2 и 3 выполяются для произвольных полей и и очень часто используются в практических приложениях векторного анализа.

4. .

и следовательно

(138)

5. - из (138) следует:

(139)

Докажем тождество (136) с помощью координатного способа

Так как , а , то согласно известному тождеству для свертки симметричного и антисимметричного тензора, получаем, что . Аналогично, для (137):

по тому же свойству свертки, что и выше.

6, Векторное поле называется соленоидальным или вихревым, если через любую замкнутую поверхность S его поток равен нулю:

.

Если это условие выполняется для любых замкнутых S в некоторой области (по умолчанию - всюду), то это условие равносильно тому, что равна нулю дивергенция векторного поля :

всюду на этой области (подразумевается, что дивергенция всюду на этой области существует). Поэтому соленоидальные поля называют также бездивергентными.

Для широкого класса областей это условие выполняется тогда и только тогда, когда имеет векторный потенциал, то есть существует некое такое векторное поле (векторный потенциал), что может быть выражено как его ротор:

Иначе говоря, поле является вихревым, если оно не имеет источников. Силовые линии такого поля не имеют ни начала, ни конца, и являются замкнутыми. Вихревое поле порождается не покоящимися зарядами (источниками), а изменением связанного с ним поля (например, для электрического поля порождается изменением магнитного). Поскольку в природе не существует магнитных зарядов, томагнитное поле всегда является вихревым, и его силовые линии всегда замкнуты. Силовые линии постоянного магнита, несмотря на то, что выходят из его полюсов (словно имеют источники внутри), на самом деле замыкаются внутри магнита. Поэтому, разрезав магнит надвое, не удастся получить два отдельных магнитных полюса.

Потенциальное (или безвихревое) векторное поле в математике — векторное поле, которое можно представить как градиент некоторой скалярной функции координат (потенциала). Необходимым условием потенциальности векторного поля в трёхмерном пространстве является равенство нулю ротора поля. Однако это условие не является достаточным (например, в многосвязной области у безвихревого поля может не существовать скалярный потенциал).

В физике, имеющей дело с силовыми полями, математическое условие потенциальности силового поля можно представить как требование равенства нулю работы при мгновенном перемещении частицы, на которую действует поле, по замкнутому контуру. Этот контур не обязан быть траекторией частицы, движущейся под действием только данных сил. В качестве потенциала поля в этом случае можно выбрать работу по мгновенному перемещению пробной частицы из некоторой произвольно выбранной исходной точки в заданную точку (по определению эта работа не зависит от пути перемещения). Например, потенциальными являются статическое электрическое поле, а также гравитационное поле в ньютоновой теории гравитации.

В некоторых источниках потенциальным полем сил считается только поле с потенциалом, не зависящим от времени. Это связано с тем, что потенциал для сил, зависящий от времени, вообще говоря, не является потенциальной энергией тела, движущегося под действием этих сил. Поскольку силы совершают работу не одномоментно, работа сил над телом будет зависеть от его траектории и от скорости прохождения по ней. В этих условиях сама потенциальная энергия не определена, так как по определению должна зависеть только от положения тела, но не от пути. Тем не менее, и для этого случая потенциал для сил может существовать, и может входить в уравнения движения так же, как и потенциальная энергия для тех случаев, когда она существует.

Пусть — потенциальное векторное поле; оно выражается через потенциал как

(или в другой записи ).

Для поля сил и потенциала сил эта же формула записывается как

,

то есть для сил потенциалом является . Когда U не зависит от времени, оно является потенциальной энергией, и тогда знак «-» возникает просто по определению. В противном случае знак сохраняется ради единообразия.

Для поля выполняется свойство независимости интеграла от пути :

,

Это равносильно

.

Интеграл по замкнутому контуру обращается в 0, поскольку начальная и конечная точка совпадают. И наоборот, предыдущую формулу можно вывести из этой, если разбить замкнутый контур на два незамкнутых.

Необходимое условие записывается как (или в другой записи ).

На языке дифференциальных форм потенциальное поле — это точная 1-форма — то есть форма, которая является (внешним) дифференциалом 0-формы (функции). Градиенту соответствует взятие внешнего дифференциала от 0-формы (потенциала), ротору соответствует взятие внешнего дифференциала от 1-формы (поля). Необходимое условие следует из того, что второй внешний дифференциал всегда равен нулю: . Интегральные формулы следуют из (обобщённой) теоремы Стокса.

Векторное поле , являющееся одновременно и потенциальным, и соленоидальным, называется гармоническим векторным полем.

Отметим следующие свойства гармонического векторного поля.

1). Гармоническое векторное поле обладает скалярным и векторным потенциалом.

2). Скалярный потенциал является функцией гармонической.

3). Для гармонического векторного поля его координаты являются функциями гармоническими.

Проверим эти свойства.

1). Первое свойство следует из определения, т.к. потенциальное поле обладает скалярным потенциалом, а соленоидальное поле обладает векторным потенциалом.

2). Так как гармоническое поле потенциально, то оно обладает скалярным потенциалом и представимо в виде . С другой стороны, гармоническое поле является соленоидальным, поэтому

.

Уравне́ ние Пуассо́ на — эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных, которое описывает

· электростатическое поле,

· стационарное поле температуры,

· поле давления,

· поле потенциала скорости в гидродинамике.

Оно названо в честь знаменитого французского физика и математика Симеона Дени Пуассона.

Это уравнение имеет вид:

где — оператор Лапласа или лапласиан, а — вещественная или комплексная функция на некотором многообразии.

В трёхмерной декартовой системе координат уравнение принимает форму:

В декартовой системе координат оператор Лапласа записывается в форме и уравнение Пуассона принимает вид:

Если f стремится к нулю, то уравнение Пуассона превращается в уравнение Лапласа (уравнение Лапласа — частный случай уравнения Пуассона):

Уравнение Пуассона может быть решено с использованием функции Грина; см., например, статью экранированное уравнение Пуассона. Есть различные методы для получения численных решений. Например, используется итерационный алгоритм — «релаксационный метод».

7, Электромагни́ тное по́ ле — фундаментальное физическое поле, взаимодействующее с электрически заряженными телами, а также с телами, имеющими собственные дипольные и мультипольные электрические и магнитные моменты. Представляет собой совокупность электрического и магнитного полей, которые могут, при определённых условиях, порождать друг друга, а по сути, являются одной сущностью, формализуемой через тензор электромагнитного поля.

Электромагнитное поле (и его изменение со временем) описывается в электродинамике в классическом приближении посредством системы уравнений Максвелла. При переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой электрическое и магнитное поле в новой системе отсчета — каждое зависит от обоих — электрического и магнитного — в старой, и это ещё одна из причин, заставляющая рассматривать электрическое и магнитное поле как проявления единого электромагнитного поля.

В современной формулировке электромагнитное поле представлено тензором электромагнитного поля, компонентами которого являются три компонентанапряжённости электрического поля и три компонента напряжённости магнитного поля (или — магнитной индукции)^{[~ 1]}, а также четырёхмерным электромагнитным потенциалом — в определённом отношении ещё более важным.

Действие электромагнитного поля на заряженные тела описывается в классическом приближении посредством силы Лоренца.

Квантовые свойства электромагнитного поля и его взаимодействия с заряженными частицами (а также квантовые поправки к классическому приближению) — предметквантовой электродинамики, хотя часть квантовых свойств электромагнитного поля более или менее удовлетворительно описывается упрощённой квантовой теорией, исторически возникшей заметно раньше.

Возмущение электромагнитного поля, распространяющееся в пространстве, называется электромагнитной волной (электромагнитными волнами)^{[~ 2]}. Любая электромагнитная волна распространяется в пустом пространстве (вакууме) с одинаковой скоростью — скоростью света (свет также является электромагнитной волной). В зависимости от длины волны электромагнитное излучение подразделяется на радиоизлучение, свет (в том числе инфракрасный и ультрафиолет), рентгеновское излучение и гамма-излучение.

8, Магнитное поле прямолинейного и кругового токов