Метод минимального элемента.

В отличие от метода северо-западного угла, этот метод позволяет построить начальный опорный план, более близкий к оптимальному. Суть метода заключается в том, что в распределительной таблице находится клетка () с наименьшей стоимостью перевозки . В эту клетку назначается максимально возможный объем перевозок и эта величина записывается в клетку (). При этом возможны три случая, описанные в методе сев-зап угла. В результате закрывается один ряд. В ставшейся части таблицы вновь находится клетка с минимальной стоимостью перевозок, назначаем максимально возможный объем перевозки и т.д. Через (n+m-1) шагов получается опорный план. Базисные переменные (включая нулевые) будут записаны в клетках, а небазисные равны 0 и не записаны.

2.Проверка опорного плана на оптимальность.

Запишем исходную модель КТЗ в векторной форме:

(5)

(6)

(7)

Здесь - вектор условия,

G= - вектор ресурсов.

Из курса «Методы оптимизации» известно, что каждой ЗЛП соответствует двойственная задача. В двойственной задаче столько же переменных, сколько ограничений в исходной, и столько же ограничений, сколько в исходной задаче переменных.

Пусть - двойственная переменная, соответствующая i-тым ограничениям (2) (потенциал пункта А_i), - двойственная переменная, соответствующая j-тому ограничению (3) (потенциал пункта В_j). Тогда вектор двойственных переменных будет иметь вид: , а сама двойственная задача запишется в виде:

(8)

(9)

В скалярной форме эта задача запишется:

(10)

(11)

Существует теорема (без доказательства):

Для оптимальности опорного плана КТЗ (1)-(4) необходимо и достаточно существование вектора двойственных переменных, компоненты которого удовлетворяют условию:

(12)

Причем , если - базисная переменная, и , если - небазисная переменная.

Т.о. из теоремы следует, что если хотя бы для одной небазисной переменной , то опорный план неоптимален и его требуется улучшить.

Т.о., для проверки опорного плана на оптимальность необходимо определить потенциалы , всех пунктов А_i и В_j. Для этого используют условие (12) для базисных переменных:

(13)

Для отыскания потенциалов , необходимо решить данную систему линейных уравнений. Уравнений в системе (13) будет (m+n-1), а кол-во неизвестных (m+n). Поэтому любой одной переменной можно придать любое значение, в том числе и нулевое. На распределительной таблице построение потенциалов производится следующим образом: полагаем для какой-либо строки i₁, содержащей базисные переменные, потенциал =0. Просматривается эта строка, и находятся базисные клетки . Для всех таких клеток из (13) можно определить потенциалы столбцов В_j: . Далее по известным потенциалам столбцов можно определить потенциалы некоторых строк. Пусть потенциал известен. Тогда просматривается столбец с номером и находятся клетки (), содержащие базисные переменные. Для всех этих клеток из (13) можно найти потенциалы строк А_i: . Продолжая этот процесс, найдутся потенциалы строк всех пунктов производства и потенциалы столбцов всех пунктов потребления.

Далее для всех клеток (i, j) содержащих небазисные переменные, вычисляются оценки . Если все , то рассматриваемый план КТЗ является оптимальным. Если хотя бы для одной клетки (k, l) справедливо , то опорный план неоптимален и необходимо перейти к лучшему опорному плану.

3.Переход к лучшему опорному плану.

Пусть рассматриваемый опорный план не оптимален. Для перехода к плану с меньшим значением целевой функции необходимо увеличить на максимально возможную величину объем перевозки в любой небазисной клетке (i, j) с . Обычно решение отыскивается быстрее, если выбрана клетка с наибольшим значением .

Пусть выбрана клетка с . Соответствующая небазисная переменная =0. Объем перевозки увеличиваем пока на неизвестную величину Q.Тогда для того, чтобы не нарушить баланс строки a, необходимо в строке a уменьшить объем перевозки некоторой базисной переменной на эту же величину Q. Но, уменьшив ее, мы нарушаем баланс столбца , который может быть восстановлен добавлением Q к некоторой базисной переменной столбца . Нарушенный баланс строки восстанавливается уменьшением на Q некоторой другой базисной переменной строки , и т.д….

Если таким образом удается прийти к уменьшению некоторой базисной переменной столбца b, то действительно можно увеличить объем перевозки в клетке . Тем самым будут найдены объемы перевозок, увеличиваемые или уменьшаемые на величину Q. Если полученные клетки соединить прямыми линиями, то получается замкнутая линия, называемая циклом. Цикл обладает следующим свойством: линия начинается и кончается в небазисной клетке , остальные вершины ломаной принадлежат строкам и столбцам таблицы, на пересечении которых находятся базисные клетки, угол между двумя соседними сторонами равен 90⁰. Такой цикл всегда существует для любой небазисной клетки и он единственный.

Пусть цикл, соответствующий клетке , построен. В клетке ставится знак «+», а далее поочередно в вершинах цикла ставятся «-», «+»… Объемы перевозок, отмеченные «+», увеличиваются, а «-» – уменьшаются на величину Q=min{ }. Таким образом, величина Q прибавляется ко всем объемам перевозок, отмеченных знаком «+», и вычитается от всех объемов перевозок, отмеченных знаком «-».

В результате получаем новый опорный план, в котором переменная становится новой базисной переменной, а одна из базисных переменных , значение которой стало =0, становится небазисной переменой (выводится из базиса). При этом значение целевой функции уменьшается на . Полученный новый опорный план записывается в новой распределительной таблице, и вновь проверяется на оптимальность и т.д. пока не получат оптимальный опорный план.

Примечание. Если в процессе построения начального опорного плана или в ходе решения получается вырожденный опорный план, то чтобы избежать зацикливаний, необходимо нулевым базисным переменным придать сколь угодно малое значение e> 0 и решить задачу как невырожденную. В оптимальном плане такой задачи необходимо считать e=0.

Пример:

Построение начального опорного плана методом минимального элемента.

Проверка опорного плана на оптимальность.

а) Определение потенциалов.

u₁=0

v₁= u₁+c₁₁=0+4=4

v₄=u₁+c₁₄=0+3=3

u₃=v₁- c₃₁=4-7= -3

v₃=u₃+c₃₃=-3+17=14

u₅=v₃- c₅₃=14-26= -12

v₅=u₅+c₅₅=-12+12=0

u₂=v₅- c₂₅=0-10= -10

v₂=u₂+c₂₂=-10+9= -1

u₄=v₂- c₄₂ = -1-6= -7

б) Определение значений D (только для небазисных клеток!).

D₁₂=V₂-U₁-C₁₂=-1-0-5=-6< 0

D₁₃=V₃-U₁-C₁₃=14-0-9 = 5> 0!!!!!! – План неоптимален!!!

.................

Наибольшее значение D₂₃=V₃-U₂-C₂₃=14-(-10)-11 = 13> 0!!!!!!!

Улучшение опорного плана.

Вводим в базис клетку (2, 3).

	vj		-1
ui	Аi Bj						ai
		5 4	5	9	10 3	6
-10		11	5 9	+ 11	7	-15 10
-3		20 7	9	0 17	16	21
-7		13	25 6	15	16	22
-12		21	25	-10 26	15	+ 0 12
	bj

Q=min{x₂₅, x₅₃}=min{15, 10}=10 Клетка (5, 3) выводится из базиса.

Получили новый опорный план:

И так далее.