Модель крупных вихрей (LES).

В ближайшие десятилетия сфера применения метода DNS будет ограничена задачами исследования природы и структуры турбулентных течений, механизма генерации и диссипации турбулентности и вряд ли станет рабочим инструментом в инженерных приложениях.

В ближайшие десятилетия в практике инженерных расчетов начнет все чаще использоваться метод крупных вихрей (LES).

Основная идея LES состоит в частичном осреднении (фильтрации) уравнений Навье-Стокса так, что крупные энергосодержащие вихри с размерами, начиная от макроразмеров потока до вихрей, соответствующих так называемому инерционному интервалу (см. §1.4) рассчитываются как в методе DNS, а влияние мелких диссипативных вихрей учитывается в уравнениях движения вязкой жидкости дополнительными напряжениями, рассчитываемыми по простым зависимостям, полученным строго из теории локально изотропной турбулентности (к примеру, закон Смагоринского). В рамках LES уже не «видны» мелкие вихри, но крупные, наиболее важные с энергетической точки зрения вихри получаются прямым расчетом. Хотя в методе LES, по сравнению с DNS, уже нет необходимости рассчитывать все вихри, расчеты с помощью LES в настоящее время все еще остаются очень трудоемкими, дорогостоящими и его широкое практическое применение для расчета обтекания судов ожидается через двадцать-тридцать лет. При расчете более простых инженерных задач LES применяется уже сегодня. В данном учебном пособии в доступной форме излагаются основы этого метода, который вскоре неминуемо вытеснит полуэмпирические методы и станет основным инструментом инженера. В целях снижения трудоемкости расчетов разрабатываются различные упрощенные варианты метода LES, наиболее перспективным из которых является метод отсоединенных вихрей DES, предназначенный для расчета отрывных течений. Основная идея метода состоит в разделении потока на две зоны: пристенную область и зону отрывного течения. В пристенной области применяется подход Рейнольдса, а в отрывной зоне используется метод LES. Для перехода от одной расчетной модели к другой созданы эффективные процедуры автоматического переключения метода расчета турбулентных напряжений и изменения разностных схем. Рейнольдсов подход является наиболее распространенным

Уравнения LES модели турбулентности получаются в результате осреднения по пространству (фильтрации) уравнений Навье-Стокса.

Физически фильтрация может трактоваться как способ отделения крупномасштабных вихрей от вихрей мелкомасштабных. После пространственной фильтрации поля скорости и давления, вклад крупных вихрей с размерами, большими чем ширина фильтра, остается, а вклад мелких с размерами, меньшими чем Δ, сглаживается или отфильтровывается. При дальнейшем выводе уравнений движения для крупномасштабных структур следует учесть вклад и мелкомасштабных. Учет этого вклада является разрешимой задачей, если движение отсеиваемых мелких вихрей может быть описано с помощью каких-либо простых и универсальных соотношений. Это в свою очередь возможно, если мелкомасштабные вихри и вызываемое ими мелкомасштабное движение являются однородными и изотропными. Требование изотропности справедливо для турбулентных движений с волновыми числами, лежащими в области инерционного интервала (см.§1.4).

Следовательно, для получения замкнутых уравнений, характерный размер мелких вихрей (волновые числа) и размер ширины фильтра должны соответствовать размерам вихрей инерционного интервала. Отсюда следует определение крупного вихря как вихря, размер которого больше характерных размеров вихрей в инерционном интервале. На практике минимальный размер крупных вихрей, движение которых рассчитывается методом LES, примерно на порядок больше колмогоровского масштаба η.

Разделенные с помощью фильтрации мелкомасштабное и крупномасштабное движения имеют характеристики, описанные в таблице 2.1.

Уравнения описывающие движение крупномасштабных структур имеют вид

В уравнение входит неизвестная величина внутрисеточных напряжений

τ _ij ^SGS. По внешнему виду это уравнение напоминает уравнение Рейнольдса с единственной разницей, что на месте напряжений Рейнольдса стоят внутрисеточные напряжения. Однако сходство это чисто внешнее. Уравнение Рейнольдса получено из уравнения Навье-Стокса осреднением по времени, тогда как уравнение (2.13) с помощью пространственной фильтрации (2.2). Рейнольдсовы напряжения описывают вклад крупных энергосодержащих вихрей, тогда как внутрисеточные напряжения учитывают влияние мелких вихрей (мелкомасштабных движений) с характерными размерами, меньшими ширины фильтра Δ. Крупные энергосодержащие вихри являются анизотропными структурами, движение которых не подчиняется универсальным законам.

Поэтому проблема замыкания является чрезвычайно сложной и рейнольдсовы напряжения находятся на основе полуэмпирических теорий. Мелкие вихри, движение которых приводит к появлению внутрисеточных напряжений, являются более простыми изотропными структурами, для которых оказалось возможным получение замкнутых универсальных формул. В этом смысле теория турбулентности, основанная на методе крупных вихрей, является замкнутой. В следующей главе представлены основные методы моделирования внутрисеточных напряжений.