Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции

Теорема 20.1. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней.

Пусть функция у=ƒ (х) дифференцируема в некоторой точке х. Следовательно, существует предел

Отсюда, по теореме 17.5 о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, имеем ∆ y/∆ x=ƒ '(х)+а, где α → 0 при ∆ х→ 0, то есть ∆ у=ƒ '(х)•∆ х+а•∆ х.

Переходя к пределу, при ∆ х→ 0, получаем

А это и означает, что функция у=ƒ (х) непрерывна в точке х.

Обратная теорема неверна: непрерывная функция может не иметь производной. Примером такой функции является функция

Изображенная на рисунке 131 функция непрерывна в точке х=0, но не дифференцируема в ней. Действительно, в точке х=0 имеем

Отсюда следует, что

не существует, т. е. функция у=|х| не имеет производной в точке х=0, график функции не имеет касательной в точке O(0; 0).

Замечания: 1. Существуют односторонние пределы функции у=|х| в точке х=0:

В таких случаях говорят, что функция имеет односторонние производные (или «производные слева и справа»), и обозначают соответственно ƒ '_- (х) и ƒ '₊(х).

Если ƒ '₊(х)≠ ƒ '_(х), то производная в точке не существует. Не существует производной и в точках разрыва функции.

2. Производная у'=ƒ '(х) непрерывной функции у=ƒ (х) сама не обязательно является непрерывной.

Если функция у=ƒ (х) имеет непрерывную производную у'=ƒ '(х) в некотором интервале (a; b), то функция называется гладкой.

28 Применение дифференциала в приближенных вычислениях.   Понятие дифференциала подсказывает, что если какой-Либо процесс по характеру своего изменения близок к линейному, то приращение функции мало отличается от дифференциала. Кроме того, если функция имеет конечную производную в некоторой точке х, то ее приращение и дифференциал также бесконечно малы при , стремящемся к нулю: , Так как дифференцируемая функция непрерывна, Потому что произведение ограниченной функции на бесконечно малую при D X, стремящемся к нулю, есть функция бесконечно малая. Более того, эти две бесконечно малые функции при эквивалентны: Эквивалентность и дает возможность при малых приращениях аргумента приближенно считать Или

29 Дифференциалы высших порядков Пусть функция зависит от переменной и дифференцируема в точке . Может оказаться, что в точке дифференциал , рассматриваемый как функция от , есть также дифференцируемая функция. Тогда существует дифференциал от дифференциала данной функции, который называется дифференциалом второго порядка функции . Дифференциал второго порядка обозначается следующим образом: Аналогично определяются дифференциалы более высоких порядков. Дифференциалом-го порядка функции называется дифференциал от дифференциала -го порядка этой функции, то есть Случай независимой переменной. Пусть - функция независимой переменной , имеющая дифференциалы любого порядка. Первый дифференциал функции где - некоторое приращение независимой переменной , которое мы задаем сами и которое не зависит от . По определению Переменной является аргумент . Значит, для дифференциала величина является постоянной и поэтому может быть вынесена за знак дифференциала. То есть дифференциал второго порядка Для вычисления дифференциала применим формулу дифференциала первого порядка к функции . Тогда получим: Итак, Рассматривая последовательно дифференциалы все более высокого порядка, получим формулу дифференциала -го порядка:   Случай зависимой переменной Пусть задана дифференцируемая функция . Тогда где в общем случае не является постоянной величиной. Поэтому дифференциал от функции берем как дифференциал от произведения

17. Теорема. Если f (x) и g (x) непрерывны в точке x ₀, то в этой же точке непрерывны и функции f (x) ± g (x), f (x) × g (x) и f (x)/ g (x) (последнее только в случае, если g (x ₀)¹ 0).

Определение. Пусть y = f (x) и x = j(t). Тогда комбинация y = f (j(t)) называется суперпозицией функций f (x) и j(t), или сложной функцией.

Теорема о непрерывности сложной функции.

Пусть x = j(t) непрерывна в точке t ₀, а функция f (x) непрерывна в точке x ₀= j(t ₀). Тогда функция y = f (j(t)) непрерывна в точке t ₀.

Короче говоря, суперпозиция непрерывных функций есть также непрерывная функция.