Эмпирическое подтверждение связи численности населения и уровня технологии

Следующим шагом является обоснование использования введенного нами показателя T при моделировании глобального демографического процесса и построения модели, опирающейся на общепринятые в демографической науке уравнения.

Как отмечалось, одним из наиболее общих положений в популяционной динамике является использование логистического уравнения Ферхюльста (2). Оно описывает динамику популяции в условиях ресурсного ограничения и замечательно работает для многих биологических видов – от микроогранизмов до крупных животных. Что касается его применимости к описанию демографического процесса, то эмпирические данные по квадратичному росту населения (4) и постоянный рост потолка несущей плотности Земли, казалось бы, делают уравнение (2) неприменимым для описания роста численности населения.

Тем не менее есть предпосылки к использованию этого уравнения, поскольку в его пользу явно говорит мальтузианский тезис (15), а также то, что потолок несущей способности Земли вполне можно описывать переменой, зависящей от объема производимого продукта и, следовательно, от уровня технологии (26).

Если обобщить эти выводы, то их можно записать в виде:

, (27)

где r, w – коэффициенты.

Уравнение имеет вид (2) и строится из тех соображений, что потолок несущей способности Земли ограничен уровнем существующей технологии. При возникновении относительной перенаселенности население возвращается к сбалансированной численности – как правило, за счет войн и эпидемий, при недонаселенности возникает быстрый рост в условиях пониженной конкуренции и население стабилизируется на уровне потолка, пока какое-нибудь, возможно малое, воздействие не отклонит его, вызывая очередное колебание.

Скорость выхода на уровень потолка несущей способности как сверху – военные конфликты и эпидемии – так и снизу – восстановление после этих бедствий, зависит от способности людей оперативно уничтожать и восстанавливать друг друга и инфраструктуру. В этом предположении коэффициент r, отвечающий за скорость выхода на потолок несущей способности, также должен зависеть от уровня технологии. В простейшем случае линейной зависимости можно представить следующую модель роста населения:

, (28)

где v и w – постоянные коэффициенты. В подобной формулировке отношение T к w приобретает вполне четкий смысл – это количество людей, которое может прокормить Земля при заданном уровне технологии T.

Модель (28), будучи также объединена с уравнением (16), асимптотически дает гиперболический рост. При задании начальных условий, для которых население сильно отличается от заданного уровнем технологии потолка несущей способности, население очень быстро выходит на него и затем следует за этим потолком, который в свою очередь растет ускоренными темпами.

Таким образом, модели популяционной динамики не теряют своей актуальности и в описании демографических процессов, особенно процессов, идущих на сравнительно малых временных масштабах. Действительно, моделирование демографических циклов и колебаний вокруг тренда под воздействием дестабилизирующих факторов может быть хорошо описано с позиций уравнения (27) и его модификаций. Однако при описании макродинамики такого рода быстрые процессы выхода на траекторию, вдоль которой система движется относительно медленно, вообще часто не выделяются в отдельные уравнения. Согласно теореме Тихонова [12], в системе уравнений дифференциальное уравнение для переменной, имеющей значительно меньшее характерное время изменения по сравнению с другими переменными, может быть заменено алгебраическим (при условии, что характер решения не меняется при устремлении малого параметра при производной к нулю). В работах М. Кремера и А.В. Подлазова фактически использовалось это положение теоремы Тихонова, а также неявно задавалось ограничение (27) численности населения уровнем технологии: М. Кремер (14), А.В. Подлазов (20).

Что же касается более медленных изменений, то для их описания следует использовать модели, учитывающие другой порядок характерных скоростей.

Так с учетом того, что население быстро выходит на квазистационарную траекторию, ресурсные ограничения выступают в качестве членов другого порядка малости:

, (29)

то есть как ограничения, связанные с необходимостью излишка, обеспечивающего устойчивый рост тренда, вокруг которого совершаются колебания. Уравнение (29) перепишем в виде

, (30)

где a и m – коэффициенты. Данное уравнение также имеет вполне популяционную трактовку: прирост наблюдается в случае, когда производится продукта больше, чем необходимо для выживания. Коэффициент m играет роль «прожиточного минимума» – доли произведенного ресурса, строго направляемого на поддержание достигнутой численности населения. Прирост возможен только если наблюдается разница между продуктом, произведенным и потраченным на одного человека. Согласно модели T – производительность труда, а m – минимально необходимый продукт на одного человека, таким образом, разность (T – m) – это ресурс на душу населения, который может быть потрачен на дополнительные цели – размножение, науку, искусство, развлечения и пр.

Таким образом, целесообразно ввести переменную

, (31)

имеющую смысл излишков на душу населения, которые могут быть использованы на дополнительные цели помимо поддержания достигнутой численности населения.

С учетом данной поправки можно записать следующую модель:

, (32)

, (33)

где a и b – константы. Уравнение (32) является записью уравнения (30) с учетом (31), а уравнение (33) является уравнением роста технологии, поскольку, очевидно, с учетом предположения о постоянстве m в (31), имеет место равенство

. (34)

Уравнения (33), (19) и (16), с математической точки зрения, абсолютно идентичны, и, как нетрудно убедиться, в сочетании с (32) или, что то же, (18) дадут гиперболический рост переменной N, однако существенным различием является понимание переменных, отражающих технологический смысл. Напомним, что T в уравнении (16) – это, по сути, коэффициент при производственной функции Кобба–Дугласа, не вполне четко декларированный М. Кремером, P в уравнении (19) – это уровень жизнесберегающих технологий, используемых А.В. Подлазовым, которые также не имеют четкого операционализированного определения и способов измерения, в то время как S в (33) – это излишек на одного человека, производимый при данном уровне технологии, определяемом как квазистационарная производительность труда и измеряемом как отношение мирового ВВП к населению Земли.

Понятно, что введение дополнительных переменных и показателей может быть оправданным только тогда, когда это введение дает какое-то новое качество. На наш взгляд, введение новых понятий и модификация уравнений должны служить цели более адекватного описания действительности и эмпирических данных.

Для подтверждения уравнений (32) и (33) целесообразно использовать данные по динамике мирового ВВП.

Рис.3. Мировой ВВП и численность населения Земли

Прямоугольниками обозначены точки, соответствующие 1 и 1000 н.э., для которых имеется разброс оценок.

За последние 2000 лет (существуют оценки и для более ранних периодов, которые не противоречат формуле, но мы их не рассматриваем, поскольку их достоверность должна быть еще должным образом обоснована) мировой ВВП (источники: [6], [29], [30], [40]) хорошо описывается формулой

, (35)

где , γ – константы. (на Рис 3. γ = ; = 221, 15; ВВП измерялся в международных долларах 1995 года) Этот факт дает основание рассматривать систему (32) – (33) с позиций эмпирических данных. Можно сделать предположение относительно значения m в (31). Поскольку в силу сделанных выше предположений рост населения и технологии в (31) и (32) наблюдается только в том случае, если S > 0, то изначальный крайне маленький прирост у предков человека мы можем считать нулевым, то есть S₀ = 0, что значит, что производительность труда у предков человека была в точности равна их минимальным потребностям: , что значит, что

. (36)

можно оценить как «изначальный уровень технологии» и как константу в (31).

Нетрудно убедиться, что сделанные предположения, формулы (32)–(33), их решения и эмпирические данные по росту населения и ВВП не противоречат друг другу. Исходя из (31), (26), (35) и (36) получаем эмпирическое выражение

, (37)

которое одновременно удовлетворяет решению системы (32)–(33), дающему гиперболический рост населения мира и уровня технологии.

Следует также отметить, что при достаточно большой численности населения Земли линейным членом в (35) можно пренебречь и считать, что T ≈ S ~ N. В частности, в 2000 году T составляет порядка 6000 долларов на человека в год, в то время как m – всего порядка 200-300. В результате для современной эпохи соотношения G = γ N ² и T = γ N, выполняются c очень хорошей точностью.

Таким образом, понятие «уровень технологии», введенное как квазистационарная производительность труда, является хорошо операционализированной и относительно легко измеримой величиной, адекватной описанию глобального демографического процесса. Что важно, для этой величины удается найти эмпирическое подтверждение результатов модели (32)–(33).