Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Свойства смешанного произведения.
1. Модуль смешанного произведения трех векторов равен объему параллелепипеда, построенного на трех исходящих из одной точки векторах. Смешанное произведение больше нуля, если тройка правая, и отрицательная, если она левая. Доказательство: Отложим вектора , , из одной точки. Возможны две ситуации: a) Тройка , , – правая; б) Тройка , , – левая.
Пусть . Тогда 2. Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю. Доказательство. Если один из векторов нулевой, то свойство очевидно. Пусть , , ¹ 0. Пусть , , – компланарны. Тогда ^ . Пусть Þ либо ^ , либо . В первом случае это означает, что вектор ^ векторам , , Þ , , – компланарны. Во втором случае – || Þ и – линейно зависимы Þ , , – компланарны. 3. Смешанное произведение не зависит от группировки сомножителей, т.е. . Доказательство. Тройки , , и , , ориентированы одинаково, значит знак смешанного произведения одинаковый. Модуль так же одинаковый в силу свойства 1. Обозначение. Смешанное произведение векторов , , обозначается . 4. . Следует из свойства циклической перестановки ориентированных векторов. 5. , . Следует из свойств скалярного произведения.
|