Стохастическая теория тестов (IRT)

Наиболее общая теория конструирования тестов, опирающаяся на теорию измерения, – Item Response Theory (IRT). Онаосновывается на теории латентно-структурного анализа (ЛСА), созданной \ П. Лазарсфельдом и его последователями. 1 Латентно-структурный анализ создан для измерения латентных (в том числе психических) свойств личности. Он является одним из вариантов многомерного анализа данных, к которым принадлежат факторный анализ в его различных модификациях, многомерное шкалирование, кластерный анализ и др.

Теория измерения латентных черт предполагает, что:

1. Существует одномерный конти нуум свойства – латентной переменной (х); на этом континууме происходит вероятностное распределение индивидов с определенной плотностью цх).

2. Существует вероятностная зависимость ответа испытуемого на задачу (пункт теста) от уровня его психического свойства, которая называется характеристикой кривой пункта. Если ответ имеет две градации («да – нет», «верно – не верно»), то эта функция есть вероятность ответа, зависящая от места, занимаемого индивидом на континууме (х).

3. Ответы испытуемого не зависят друг от друга, а связаны только через латентную черту. Вероятность того, что, выполняя тест, испытуемый даст определенную последовательность ответов, равна произведению вероятностей ответов на отдельные задания.

Конкретные модели ЛСА, применяемые для анализа эмпирических данных, основаны надополнительныхдопущенияхо плотности распределения индивидов на латентном континууме или о форме функциональной связи уровня выраженности свойства у испытуемого и ответа на пункт теста.

В модели латентного класса функция плотности распределения индивидов является точечно-дискретной: все индивиды относятся к разным непересекающимся классам. Измерение производится номинальной шкалой.

В модели латентной дистанции постулируется, что вероятность ответа индивида на пункт теста является мультипликативной функцией от параметров задачи и величины свойства:

где

Р, (х) – вероятность ответа «да» на i-й пункт,

а – дифференцирующая сила» задания,

х – величина свойства,

Р, – «трудность» задания.

Вероятность ответа на пункт теста описывается функцией, изо Сраженной на графике.

где

F(x) – величина i-ro задания, Р (х) – вероятность ответа на i-e задание.

Модель нормальной огивы есть обобщение модели латентной дистанции. В ней вероятность ответа на задание такова:

где

-L(x) – плотность нормального распределения. В логистической модели вероятность ответа на задание описывается следующей зависимостью:

распределения.

Логистическая модель используется наиболее широко, так как она специально предназначена для тестов, где свойство измеряется суммированием баллов, полученных за выполнение каждого задания с учетом их весов.

Логистическая функция и функция нормального распределения тесно связаны:

/ Ф(x)-^\V(, 7x) \< 0, 01

(здесьф(х) – кумулятивная функция нормального распределения). Развитием ЛСАявляются различные модификации Item Response Theory. В IRT распределения переменных на оси латентного свой-208

ства считаются непрерывными, т. е. модель латентного класса не используется.

База для IRT– это модель латентной дистанции. Предполагается, что и индивидов, и задания можно расположить на одной оси «способность – трудность», или «интенсивность свойства – сила пункга». Каждому испытуемому ставится в соответствие только од но значение латентного параметра («способности»).

В общем виде вероятность ответа зависит от множества свойств испытуемого, но в моделях IRT рассматривается лишь одномерный случай.

Главное отличие IRT от классической теории теста в том, что в ней не ставятся и не решаются фундаментальные проблемы эмпирической валидности и надежности теста: задача априорно соотносится лишь с одним свойством, т. е. тест заранее считается валидным. Вся процедура сводится к получению оценок параметров трудности задания и к измерению «способностей» испытуемых (образованию «характеристических кривых»).

В классической теории теста индивидуальный балл (уровень свойства) считается некоторым постоянным значением. В IRT латентный параметр трактуется как непрерывная переменная.

Первично моделью в IRT стала модель латентной дистанции, предложенная Г. Рашем: разность уровня способное ги и трудносчи Tecia х –р, где х – положение i-ro испытуемого на шкале, ар– положение j-ro задания на той же шкале. Расстояние (х – р) характеризует отставание способности испытуемого от уровня сложности задания. Если разница велика и отрицательна, то задание не может быть выполнено, так как для данного испытуемого оно слишком сложно. Если же разница велика и положительна, то задание также не информативно, ибо испытуемый заведомо легко и правильно его решит.

Вероятность правильного решения задания (или ответа «да») i-м испытуемым:

Р, ()=Г(х-Р,) Вероятность выполнения j-ro задания группой испытуемых:

Р (х-Р).

В IRT функции (х) и f(P) называются функциями выбора пункта. Соответственно первая является характеристической функцией испытуемого, а вторая – характеристической функцией задания.

Считается, что латентные переменные х и (3 нормально расиреде лены, поэтому для характеристических функций выбирают либоло-гистическую функцию, либо интегральную функцию нормирован ного нормального распределения (как мы уже отмегилн выше, от, мало отличаются друг от друга).

Поскольку логистическую функцию проще аналитически зада вать, ее используют чаще, чем функцию нормальною распределс ния.

Кроме «свойства» и «силы пункта» (она же – трудность задания 1 в аналитическую модель IRT могут включаться и другие перемен ные. Все варианты IRT классифицируются по числу используемых i, них переменных.

Наиболее известны однопараметрическая модель Г. Раша. двухпараметрическая модельА. Бирнбаума и трехпараметрическая модель А. Бирнбаума.

В однопараметрической модели Pauia предполагается, чтоотвеч испытуемого обусловлен только индивидуальной величиной измеряемого свойства (й) и «силой» тестового задания ([3). Следовательно, для верного ответа («да»)

и для неверного ответа («нет»)

Наиболее распространена модель Раша с логистической функцией отклика.

Для тестового задания:

Естественно, чем выше уровень свойства (способности), тем вероятнее получить правильный ответ («ключевой» огвет – «да»). Следовательно, функция Р (9) является монотонно возрастающей.

В точке «перегиба» характеристической кривой i-ro задания теста «способность» равна «трудности задания», следовательно, «вероятность его решения» равна 0, 5.

ичевидно, что индивидуальная кривая испытуемого, характеризующая вероятность решить то или иное задание (дать ответ «да»), будет монотонно убывающей функцией.

В точке на шкале, где «трудность» равна «индивидуальной способности испытуемого», происходит «перегиб» функции. С ростом «способности» (развитием психологического свойства) кривая сдвигается вправо.

Главной задачей IRT является шкалирование пунктов теста и испытуемых.

Упростим исходную формулу модели, введя параметр V= e91-:

Шанс на успех i-ro испытуемого при решении j-ro задания определяется отношением:

Если сравнить шансы двух испытуемых решить одно и то жej-е задание, то это отношение будет следующим:

Следовательно, разница в успешности решения задания испыту емыми не зависит от сложности задания и определяется лишь уров нем способности.

Нетрудно заметить, что в модели Раша отношение трудности заданий не зависит от способности испытуемых. Для того, чтобы убедиться в этом, достаточно проделать аналогичные простейшие пре образования, сравнивая вероятности ответов группы на два пункта, теста, а не вероятности ответов разных испытуемых.

где

Р, – вероятность ответа на k-e задание для i-го испытуемого, U==

ев. -р,

и для неправильного ответа

Следовательно,

Для сравнения шансов на успех i-ro испытуемого решить задания k и п берем отношение:

Тем самым отношение шансов испытуемого решить два разных задания определяется лишь трудностью этих заданий.

Обратим внимание, что шкала Раша (в теории) является шкалой отношений.

Теперь у нас есть возможность ввести единицу измерения способности (в общем виде – свойства). Если взять натуральный логарифм от е1 «-pk или е9 -ет, то получается единица измерения «логит» (термин ввел Г. Раш), которая позволяет измерить и «силу пункта» (трудность задания), и величину свойства (способность испытуемого) в одной шкале.

Эмпирически эта процедура производится следующим образом. Предполагается, что данные тестирования и значения латентных переменных характеризуются нормальным распределением. Уровень «способности» испытуемого в «логитах» определяется на шкале интервалов с помощью формулы:

где

п – число испытуемых,

р – доля правильных ответов i-ro испытуемого на задания теста,

q – доля неправильных ответов,

Р, +Я, =1 Для первичного определения трудности задания в логитах используют оценку

Р» = In ––, j=l, 2,.. „ п, Р,

где п – число заданий,

р, – доля правильных ответов для испытуемых группы Haj-e задание, q –доля неправильных ответов,

P+Q-¹ Хотя параметры (3 и 6 изменяются от «плюса» до «минуса». io при Р < – 6 значения р близки к единице, т. е. на эти задания практически каждый испытуемый дает правильный («ключевой») ответ. При (3 > б с заданием не сможет справиться ни один испытуемый, точнее – вероятность дать «ключевой» ответ ниччожна.

Рекомендуется рассматривать лишь интервалы от – 3 до + 3 как для Р (трудности), так и для 6 (способность).

Второй этап шкалирования испытуемых и заданий сводится к тому, что шкалы преобразуются в единую путем «уничтожения» влияния трудности задания на результат индивидов. И наоборот, эли

минируется влияние индивидуальных способностей на решение заданий различной трудности. Для шкалы испытуемых:

где

(3 – среднее значение логитов трудности заданий теста, W – стандартное отклонение распределения начальных значений

параметра (3, n – число испытуемых. Для шкалы заданий:

6 – среднее значение логитов уровней способностей,

V – стандарное отклонение распределения начальных значений «способности»,

n – число заданий в тесте.

Эти эмпирические оценки используются в качестве окончательных характеристик измеряемого свойства и самого измерительного инструмента (заданий теста).

Если перед исследователем стоит задача конструирования теста, то он приступает к получению характеристических кривых заданий теста. Характеристические кривые могут накладываться одна на другую. В этом случае избыточные задания выбраковываются. На определенных участках оси 9 («способность») характеристические кривые заданий могут вовсе отсутствовать. Тогда разработчик теста должен добавить задания недостающей трудности, чтобы равномерно заполнить ими весь интервал шкалы логитов от –6 до +6. Заданий средней трудности должно быть больше, чем на «краях» распределения, чтобы тест обладал необходимой дифференцирующей (различающей) силой.

Вся процедура эмпирической проверки теста повторяется несколько раз, пока разработчик не останется доволен результатом работы. Естественно, чем больше заданий, различающихся по уровню

трудности, предложил разработчик для первичного варианта теста, тем меньше итераций он будет проводить.

Главным недостатком модели Раша теоретики считают пренебрежение «крутизной» характеристических кривых: «крутизна» их полагается одинаковой.

Задания с более «крутыми» характеристическими кривыми позволяют лучше «различать» испытуемых (особенно в среднем диапазоне шкалы способности), чем задания с более «пологими» кривыми.

Параметр, определяющий «крутизну» характеристических кривых заданий, называют дифференцирующей силой задания. Он используется в двухпараметрической модели Бирнбаума.

Модель Бирнбаума аналитически описывается формулой

Параметра определяет «крутизну» кривой в точке ее перегиба;

его значение прямо пропорционально тангенсу угла наклона касательной к характеристической кривой задания теста в точкеЭ = (.

Интервал изменения параметра а от–с до +оо. Если значения а близки к 0 (для заданий разной трудности), то испытуемые, различающиеся по уровню выраженности свойства, равновероятно дают «ключевой» ответ на это задание теста. При выполнении такого задания у испытуемых не обнаруживается различий.

Парадоксальный вариант получаем при а < 0. В этом случае более способные испытуемые отвечают правильно с меньшей вероятностью, а менее способные – с большей вероятностью. Опытные психодиагносты знают, что такие случаи встречаются в практике тестирования очень часто.

Ф. Лорди М. Р. Новик в своей классической работе приводят формулы оценки параметра а. При а = 1 задание соответствует одно-215

параметрической модели Раша. Практики рекомендуют использовать задания, характеризующие значение а в интервале от 0. 5 до 3.

Все психологические тесты можно разделить в зависимости oi формального типа ответов испытуемого на «открытые» и «закрытые». В тестах с «открытым» ответом, к которым относятся tcctwais Д. Векслераили методикадополнения предложений, испытуемый са\ порождает ответ. Тесты с «закрытыми» заданиями содержат варианты ответов. Испытуемый может выбрать один или несколько вариантов из предлагаемого множества. В тестах способностей (тес 1 Д. Равена, GABT и др.) предусмотрено несколько вариантов неправильного решения и один правильный. Испытуемый может применить стратегию угадывания. Вероятность угадывания ответа:

где

n – число вариантов.

Результаты эмпирических исследований показали, что относительные частоты решения «закрытых» заданий отклоняются от теоретически предсказанных вероятностей двухпараметрической модели Бирнбаума. Чем ниже уровень способностей испытуемого (низкие значения параметра 6), тем чаще он прибегает к стратегии угадывания. Аналогично, чем труднее задание, тем больше вероятность того, что испытуемый будет пытаться угадать правильный ответ, а не решать задачу.

Бирнбаум предложил трехпараметрическую модель, которая позволила бы учесть влияние угадывания на результат выполнения теста.

Трехпараметрическая модель Бирнбаума выглядит так:

Соответственно оценка «силы» пункта (трудности задания) вло-гистической форме модели

С характеризует вероятность правильного ответа на задание j в том случае, если испытуемый угадывал ответ, а не решал задание, т. е. при 9 –> 0. Для заданий с пятью вариантами ответов С = 0, 2, с четырьмя вариантами – С = 0, 25 и т. д.

Нетрудно заметить, что характеристическая кривая задания при учете параметра С становится более пологой, так как 0 < С < 1, но

при всех С = 0 кривая поднимается над осью 9 на величину С. Тем самым даже самый неспособный испытуемый не может показать нулевой результат. Дифференцирующая сила тестового задания при введении параметра С снижается. Из этого следует нетривиальный вывод: тесты с «закрытыми» заданиями (вынужденным выбором ответа) хуже дифференцируют испытуемых по уровням свойства, чем тесты с «открытыми» заданиями.

Модель Бирнбаума не объясняет парадоксального, но встречающегося в практике тестирования феномена: испытуемый может реже выбирать правильный ответ, чем неправильный. Таким образом, частота решения некоторых заданий может не соответствовать предсказаниям модели Р < С, тогда как, согласно модели Бирнбаума, в пределе Р = С.

Рассмотрим еще одну модель, которую предложил В. С. Аванесов. Как мы уже заметили, в IRT не решается проблема валидности: успешность решения задачи зависит в моделях IRT только от одного свойства. Иначе говоря, каждое задание теста считается априорно валидным.

Аванесов обратил внимание на это обстоятельство и ввел дополнительный, четвертый, параметр, который можно обозначить как внутреннюю валидность задания. Успешность решения задания определяется не только «основной» способностью (9), но и множеством условий, нерелевантных заданию, однако влияющих надеятель-ность испытуемого.

Четырехпараметрическая модель представляет, по мнению ряда исследователей, лишь теоретический интерес:

где

у – валидность тестового задания.

Если у < 1, то тест не является абсолютно валиднным. Следовательно, вероятность решения задания не только определяется теоретически выделенным свойством, но и зависит от других психических особенностей личности.

Бирнбаум считает, что количество информации, обеспеченное j-м заданием теста, при оценивании 9 является величиной, обратно пропорциональной стандартной ошибке измерения данного значения 6 j-м заданием. Более подробно вычисление информационной функции рассмотрено в работе М. Б. Челышковой.

Многие авторы, в частности Пол Клайн, отмечают, что IRT обладает множеством недостатков. Для того, чтобы получить надеж ную и независимую от испытуемых шкалу свойств, требуется провести тестирование большой выборки (не менее 1000 испытуемых) Тестирован недостижений показывает, что существу ют значительные расхождения между предсказаниями модели и эмпирическими данными.

В 1978 г. Вуд доказал, чтолюбые произвольные данные могутбыть приведены всоогветствиес моделью Раша. Кроме того, существуе! очень высокая корреляция шкал Раша с классическими тестовыми шкалами (около 0, 90).

Шкалирование, по мнению Раша, способно привести к образованию бессмысленных шкал. Например, попытка применить его модель к опроснику EPQ Айзенка породила смесь шкал N, Е, Р и L.

Главный же недостаток IRT – игнорирование проблемы валид-ности. В психологической практике не наблюдается случаев, когда ответы на задания теста были бы обусловлены лишь одним фактором. Даже при тестировании общего интеллекта модели 1 R. T неприменимы.

Клайн рекомендует использовать модели IRT для коротких тестов с валидными заданиями (факторно простые тесты).

В пособии Клайна «Справочное руководство по конструированию тестов» (Киев, 1994) приведен алгоритм конструирования тестов на основе модели Раша.

В заключение рассмотрим вероятностную модель тестов «уровня» Ф. М. Юсупова, аспиранта лаборатории психологии способностей Института психологии РАН. Его модель разработана для тестов с «закрытыми» заданиями (выбором ответов из множества), различающимися по уровню трудности. В «закрытых» тестах испытуемый может применить стратегию «угадывания» ответа. Вероятность угадывания

где

m – число альтернатив.

Сложность тестового задания

где

n – число испытуемых, способных решить задание, N – общее количество испытуемых в выборке валидизации. При W< P невозможно определить, решена задача случайно или закономерно. Полагается, что биноминальное распределение вероятности успешного выполнения тестового задания при больших N аппроксимируется нормальным. Должны выполняться следующие условия:

1. Правильный ответ выбирается неслучайно, если:

его экспериментально полученная частота больше 1/т;

это превышение статистически значимо;

оценить его можно с помощью t-критерия Стьюдента.

2. Все ложные варианты ответов должны выбираться не чаще, чем случайные:

где

n – частота выбора неверного ответа.

Тем самым тестовое задание стимулирует испытуемого к выбору правильного ответа.

3. В тестах «уровня» диапазон изменения показателя сложности О < W S 1 должен быть уменьшен «слева» на величину W, значимо отличающуюся от W, в которой t = t (t – критерий Стьюдента). Чем больше вариантов ответов в тесте, тем меньше W и шире область допустимых значений показателя сложности тестового задания. Например, для N = 100, а = 0, 05 (t = 1, 90) и 10 > m > 3 расчет показывает, что уже при m > 6 скорость расширения области значений показателя сложности значимо замедляется. Поэтому рекомендуется выбирать 6– 10 вариантов ответа.

В тесте «уровня» число градаций сложности и число заданий связано. Чем точнее оценка свойства, тем больше число градаций. Но это влечет снижение достоверности измерения, так как длина теста (число задан и и) ограниченна. Уменьшение числа градаций приведет к нивелированию различий между испытуемыми.

Предельно возможное число заданий в тесте выбирается при условии, что различие в уровне их сложности гарантируется с выбранной вероятностью.

Поскольку дисперсия биноминального распределения максимальна в центре интервала 0 – 1 и уменьшается к периферии до 0, шаг градаций сложности на разных участках этого интервала будет различным: на периферии он должен стремиться к нулю.

Удобно принять в качестве шага градации сложности 1/10 интервала. Для а = 0, 05, N = 100 получается 7 значений показателя сложности, что при шаге, равном 0, 1, гарантирует различение между уровнями с вероятностью 0, 9.

Если учесть условие минимизации случайного выбора правильного ответа, то число градаций сложности должно быть еще меньше. Например, при б вариантах ответа число заданий разного уровня сложности не может быть больше 6.

Эти выводы верны в том случае, если биноминальное распределение аппроксимируется нормальным распределением. При большом числе испытуемых такая аппроксимация возможна.

Расчеты показывают, что минимально необходимый объем выборки для апробации тестовых заданий не так уж и велик – 56 человек при достоверности 0, 9.

Следовательно, исходя из вероятностной модели теста и не прибегая к допущениям о моделях тестирования, можно рассчитать параметры теста как предельные характеристики, обеспечивающие достоверность измерения.

Литература

Психологические измерения. М.: Мир, 1976. Наповян С. С. Математические методы в социальной психологии.

М.: Наука, 1983. Клайн П. Справочное руководство по конструированию тестов.

Киев, 1994. ДюкВ. А. Компьютерная психодиагностика. СПб.: Братство, 1994.

Вопросы

1. Какие основные типы шкалы используются в психологических исследованиях?

2. В чем состоят отличия классической модели теста от теории выбора ответа (IRT)?

3. Что гакое «логит»?

4. Каким должно быть число уровней трудности заданий в тесте?

5. В каких случаях применяется шкалограммный анализ?