Глава 3. Уравнения движения электропривода

Наиболее удобным методом составления уравнения движения механической части привода являются уравнения движения Лагранжа второго рода. При этом предполагается, что движение механической части исследуется в системе обобщенных координат, в качестве которых должны быть приняты независимые параметры, определяющие положения механизма. Такими параметрами являются углы поворота вращающихся вокруг неподвижных осей дискретных инерционных элементов и их линейные перемещения (рис. 3.1).

Рис. 3.1 Расчетные схемы механической части (а – для вращающихся элементов, б – для поступательно-движущихся элементов)

Уравнения Лагранжа второго рода

, (3.1)

где – кинетическая энергия систем;

– потенциальная энергия системы;

– работа сил рассеяния (диссипативная функция Релея);

– обобщенная координата;

– обобщенная скорость;

– обобщенная внешняя сила, соответствующая обобщенной координате.

При вращательном движении , ; при поступательном движении , , .

Число уравнений Лагранжа второго рода для системы равно числу дискретных инерционных элементов, т.е. числу степеней свободы механизма.

Для механической системы, содержащей инерционных и упругих элементов:

или ; (3.2)

или ; (3.3)

или . (3.4)

Моменты (силы), входящие в левую часть уравнения Лагранжа (1) и действующие на 1-й инерционный элемент системы, определяются как:

1) инерционные

(3.5)

где ;

2) потенциальные

; (3.6)

. (3.7)

3) диссипативные

; (3.8)

. (3.9)

Для (для первой массы)

. (3.10)

Производная (момент)

(3.11)

Для

. (3.12)

Производная (момент)

(3.13)

В соответствии с уравнением Лагранжа (1) для любого i-го звена может быть записано уравнение движения

; (3.14)

, (3.15)

где , – суммарный внешний момент (сила), действующий на i-е звено.

В тех случаях, когда момент инерции (масса) звена не зависит от его положения, , получим

; (3.16)

, (3.17)

где – угловое и линейное ускорение.

Диссипативные силы в упругих связях, обусловленные силами вязкого трения существенно меньше потенциальных сил, в связи с чем при исследовании законов движения электроприводов механизмов в первом приближении их можно не учитывать.

С учетом указанных допущений уравнения движения в случае трехмассовой системы имеют следующий вид

(3.18)

Для двухмассовой системы

(3.19)

С учетом, что момент упругой связи уравнения (3.19) запишутся в следующем виде

(3.20)

Для одномассовой абсолютно жесткой системы на основании (3.5) при можно записать уравнение движения

, (3.21)

а при

. (3.22)