Требования к оформлению домашнего задания

Решение задач выполняется на отдельных листах или в отдельной общей тетради. На лицевой стороне первого листа каждой оформленной задачи должно быть написано:

Домашнее задание по курсу общей физики

Студента ГУУ, 2-й курс (3 –й семестр)

Группа ……………………….. Фамилия, инициалы ……………………………………

Вариант № …………………… Задача № ……………………………………………….

На первой странице следует написать условия задачи с исходными данными соответствующего варианта, изобразить заданный рисунок исходной задачи. Далее излагается решение задачи. Все вводимые студентом новые параметры и обозначения физических и геометрических величин обязательно следует сопровождать соответствующими пояснениями. При решении задачи необходимо ссылаться на используемые физические законы. Например: «…согласно закону Гаусса имеем …», или «… в соответствии с законом сохранения потока магнитной индукции следует написать …». Уравнения, математические выражения и формулы нужно выделять отдельной строкой и обязательно нумеровать. Это позволяет при преобразованиях делать ссылку на эти номера. Например: «… подставим зависимость (4) в уравнение (7) …». Такое изложение хода решения задачи позволяет преподавателю проверить правильность предлагаемого решения и указать на конкретную ошибку, если она имеется. Необходимо решение задачи сопровождать пояснительными рисунками.

Домашнее задание состоит из трех задач. Первая задача посвящена электростатике. Вторая задача относится к магнитостатике, а третья к электродинамике. Исходные данные каждого конкретного варианта домашнего задания сведены в соответствующие таблицы.

Тема 1. Электростатика.

Задача 1.1. Сферический диэлектрический конденсатор имеет радиусы внешней и внутренней обкладок Ro и R соответственно. Заряд конденсатора равен q. Диэлектрическая проницаемость меняется между обкладками по закону e = f (r).

Построить графически распределение модулей вектора электрического поля Е, вектора поляризованности Р ивектора электрического смещения D между обкладками конденсатора. Определить поверхностную плотность связанных зарядов на внутренней s`<sub>1</sub> и внешней s`₂ поверхностях диэлектрика, распределение объемной плотности связанных зарядов r`(r), максимальные значения напряженности электрического поля Е, вектора электрического смещения D, разность потенциалов U между обкладками и ёмкость конденсатора.

R

Ro

Функция e = f (r) для нечетных вариантов имеет вид:

e = (R_oⁿ + R ⁿ)/(R ⁿ + r ⁿ).

Функция e = f(r) для четных вариантов имеет вид:

e = (R_oⁿ)/(R_o ⁿ + R ⁿ - r ⁿ)

Таблица 1.1. Значения параметров n и Ro/R. в зависимости от номера варианта.

Задача 1.2. Цилиндрический бесконечно длинный диэлектрический конденсатор заряжен до разности потенциалов U и имеет радиусы внешней и внутренней обкладок Ro и R соответственно. Диэлектрическая проницаемость меняется между обкладками по закону e = f(r)

Построить графически распределение модулей вектора электрического поля Е, вектора поляризованности Р ивектора электрического смещения D между обкладками конденсатора. Определить поверхностную плотность связанных зарядов на внешней s`<sub>2</sub> или на внутренней s`₁ поверхностях диэлектрика, распределение объемной плотности связанных зарядов r`(r), максимальные значения напряженности электрического поля Е, вектора электрического смещения D, ёмкость конденсатора на единицу длины.

R

Ro

Функция e = f(r) для нечетных вариантов имеет вид:

e = (R_oⁿ + R ⁿ)/(R ⁿ + r ⁿ)

Функция e = f(r) для четных вариантов имеет вид:

e = (R_oⁿ)/(R_o ⁿ + R ⁿ - r ⁿ)

Таблица 1.2. Номера вариантов в зависимости от параметров n и Ro/R.

По результатам проведенных вычислений построить графически зависимости D(r)/D(R), E(r)/E(R) в интервале значений r от R до Ro для задач 1.1 и 1.2, и D(y)/D(0), E(y)/E(0) в интервале значений y от 0 до d для задачи 1.3.

Все зависимости графически изобразить на одном рисунке.

Основные формулы электростатики

Связь между векторами E, D, P:

D = e_oe E, P = (e - 1) e_o E, P = (e - 1) D /e.

Теорема Гаусса для диэлектрика:

ò D d S = q,

^s

Теорема Гаусса для вектора поляризованности P:

ò P d S = - q`

^s

Связь между напряженностью электрического поля Е и потенциалом j:

₁ò ² E d l = j ₁ -j ₂ = - Dj

Емкость конденсатора:

С = q/Dj.

Примеры решения задач по электростатике

Решение задачи 1.1

Определим зависимость модуля векторов E, D, P от радиуса r в предположении, что заряд внутренней и внешней обкладки равны + q и -q соответственно. Для изотропной среды связь между этими векторами определяется соотношениями (1.1).

Тогда, применив теорему Гаусса для сферы радиуса r:

4 pr²D = q

получимдля модулей векторов E, D, P:

D = q/4 pr², E = q / 4 pee_or², P = (e - 1)q / 4 p e r²

далее для нечетных вариантов:

D = q/4 pr², E = q (R ⁿ + r ⁿ)/ 4 (R_oⁿ + R ⁿ) p e_or²,

P = (R_oⁿ - r ⁿ)q / 4 p r² (R_oⁿ + R ⁿ)

для четных вариантов:

D = q/4 pr², E = q (R_o ⁿ + R ⁿ - r ⁿ)/ 4 p (R_oⁿ)e_or²,

P = q (r ⁿ - R ⁿ)/ 4 p e r² R_o ⁿ

Поверхностную плотность связанных зарядов можно определить из сооношения P_n = s`, например, для нечетных вариантов:

P = (R_oⁿ - R ⁿ)q / 4 p r² (R_oⁿ + R ⁿ) при r = R

P = (R_oⁿ - R_o ⁿ)q / 4 p r² (R_oⁿ + R ⁿ) = 0 при r = R_o

Обьемную плотность связанных зарядов определим из уравнения:

ò P dS = - q`

^s

В качестве поверхности интегрирования выберем две концентрические сферические поверхности радиусами r и r + dr. Тогда уравнение (1.4) будет иметь вид:

d(P 4 p r²) = -dq`

где - dq` = r`(4pr²dr) - величина связанного заряда, заключенного между этими сферическими поверхностями.

для нечетного варианта:

d ((R_oⁿ - r ⁿ)q / 4 p (R_oⁿ + R ⁿ))/ r²dr = r` =

(- n r ^n-1)q / 4 p (R_oⁿ + R ⁿ) r²

Емкость конденсатора можно определить найдя разность потенциалов между обкладками:

Dj = U = - ò Е d(r),

U = (q / 4 (R_oⁿ + R ⁿ) p e_o) ò (R ⁿ + r ⁿ)/r² =

(r ⁿ/(n-1) - R ⁿ)/r = (R_oⁿ /(n-1) - R ⁿ)/ R_o - (Rⁿ /(n-1) - R ⁿ)/ R

Далее по определению емкости конденсатора С = q / Dj.

Решение задачи 1.2

Определим зависимость модуля векторов E, D, P от радиуса r в предположении, что заряд внутренней и внешней обкладки на единицу длины равны + l и - l соответственно. Для изотропной среды связь между этими векторами определяется соотношениями (1.1).

Тогда, применив теорему Гаусса для цилиндрической поверхности радиуса r:

2 pr l D = ll

получимдля модулей векторов E, D, P:

D = l /2 pr, E = l /2pee_or, P = (e - 1) l /2per

далее для нечетных вариантов:

D = l /2 pr, E = l (R ⁿ + r ⁿ)/ 2 (R_oⁿ + R ⁿ) p e_or,

P = (R_oⁿ - r ⁿ) l / 2 p r (R_oⁿ + R ⁿ)

для четных вариантов:

D = l / 2 pr, E = l (R_o ⁿ + R ⁿ - r ⁿ)/ 2 p (R_oⁿ)e_or,

P = l (r ⁿ - R ⁿ)/ 2 p r R_o ⁿ

Поверхностную плотность связанных зарядов можно определить из соотношения P_n = s`, например, для нечетных вариантов:

P = (R_oⁿ - R ⁿ) l / 2 p r (R_oⁿ + R ⁿ) при r = R

P = (R_oⁿ - R_o ⁿ) l / 2 p r (R_oⁿ + R ⁿ) = 0 при r = R_o

Объемную плотность связанных зарядов определим из уравнения:

ò P dS = - q`

^s

В качестве поверхности интегрирования выберем две цилиндрические поверхности радиусами r и r + dr. Тогда уравнение (1.4) будет иметь вид:

d(P 2 p r l) = -dq`

где - dq` = r`(2prldr) - величина связанного заряда, заключенного между этими сферическими поверхностями.

для нечетного варианта:

(d ((R_oⁿ - r ⁿ) l / 2 p r (R_oⁿ + R ⁿ))2 p r)/2 p r dr = r` =

(- n r ^n-1) l / 2 p (R_oⁿ + R ⁿ) r

Емкость конденсатора можно определить найдя разность потенциалов между обкладками:

Dj = U = - ò Е d(r),

U = (/ 2 (R_oⁿ + R ⁿ) p e_o) ò (R ⁿ + r ⁿ)/r = (r ⁿ/n - Rⁿ ln r)

= (l / 2 (R_oⁿ + R ⁿ) p e_o) (((R_oⁿ - R ⁿ)/n) - (Rⁿ ln(Ro/R)))

Далее по определению емкости конденсатора на единицу длины С = l / Dj.

Тема 2. Магнитостатика

Задача 2.1. Проводник с током плотности j равномерно распределенным по его поперечному сечению имеет форму трубки, внешний и внутренний радиусы которой равны Ro и R соответственно. Магнитная проницаемость меняется по закону m = f (r).

Построить графически распределение модулей вектора индукции магнитного

поля B, напряженности магнитного поля H, а также вектора намагниченности J в зависимости от r в интервале от R до Ro. Определить поверхностный ток намагничивания i на внутренней и внешней поверхностях трубки на единицу длины; распределение плотности токов намагничивания j_н в объеме магнетика.

R

Ro

Функция m = f(r) для четных вариантов имеет вид:

m = (Rⁿ + r ⁿ)/2Rⁿ

Функция m = f(r) для нечетных вариантов имеет вид:

m = (R_oⁿ + Rⁿ - r ⁿ)/R ⁿ

Таблица 2.1. Номера вариантов в зависимости от параметров n и Ro/R.

Задача 2.2. По коаксиальному кабелю, радиусы внешнего и внутреннего проводника которого равны Ro и R соответственно, протекает ток I. Пространство между проводниками заполнено магнетиком, магнитная проницаемость которого меняется по закону m = f (r).

Построить графически распределение модулей вектора индукции B и напряженности H магнитного поля, а также вектора намагниченности J в зависимости от r в интервале от R до Ro. Определить поверхностный ток намагничивания i на внутренней и внешней поверхностях магнетика на единицу длины, распределение плотности токов намагничивания j_н в объеме магнетика. Определить индуктивность единицы длины кабеля.

R

Ro

Функция m = f (r) для четных вариантов имеет вид:

m = (R_oⁿ + rⁿ) /(R_oⁿ + R ⁿ)

Функция m = f (r) для нечетных вариантов имеет вид:

m =(Rⁿ + rⁿ) /2R ⁿ

Таблица 2.2. Номера вариантов в зависимости от параметров n и Ro/R.

По результатам проведенных вычислений построить графически зависимости B(r)/B(R), H(r)/H(R) в интервале значений r от R до Rо для задач 2.1 и 2.2, а также зависимости B(y)/B(0), H(y)/H(0) в интервале значений y от 0 до d для задачи 2.3. Все зависимости изобразить графически на одном рисунке.

Основные формулы магнитостатики

Связь между векторами B, H, J: В = m m_оН, J = (m-1) H

Теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поля Н:

ò H dl = I, где I – ток пронизывающий данный замкнутый контур L.

Теорема о циркуляции вектора намагниченности J:

ò J dl = Iн, где Iн = ò j_нdS – ток намагниченности пронизывающий ^L

данный замкнутый контур L.

Теорема Гаусса для вектора индукции магнитного поля:

ò В dS = 0

Индуктивность:

L=(1/I²) ò (ВH) dV или

L = Ф/ I, где Ф = ò В dS – поток вектора магнитной индукции через поверхность

^S

S, ограничивающую данный контур.

Пример общего решения задач по магнитостатике

Решение задачи 2.1

Для контура радиуса r запишем теорему о циркуляции вектора напряженности Н магнитного поля:

ò H d(l) = 2 p r H = j p(r² - R²), откуда H = j (r² - R²) /2r

тогда: В = m m_оН = m m_о j (r² - R_o²) /2r = (R_oⁿ + r ⁿ) m_о j (r² - R_o²) / R_oⁿ 2r

J = cH = (m-1) j (r² - R_o²) /2r = r ⁿ j (r² - R²) / R_oⁿ 2r

Поверхностная плотность тока намагничивания i числено равна касательной составляющей вектора намагничивания J к поверхности если поверхность является поверхностью раздела магнетика и вакуума.

i(R) = 0, i(Ro) = j (Ro² - R²) / 2 Ro

Обьемную плотность тока намагничивания j_н можно найти используя теорему о циркуляции вектора J:

ò J d(l) = Iн

где Iн - суммарный ток намагничивания, пронизывающий данный контур.

В качестве контура выберем две окружности r и r + dr.

Циркуляция по окружности радиуса r равна 2r pJ(r), тогда для контура можно записать:

d(2p r J) = j_н(2p r d(r))

Откуда: j_н = (j / 2R_oⁿ r) (d/dr (r ⁿ (r² - R²))) = (j / 2R_oⁿ) ((n+2)r ⁿ - nR² r ^n-2)