Элементы теории обыкновенных дифференциальных уравнений

Обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ) называется уравнение:

,

которое связывает независимую переменную х, искомую функцию у(х) и ее производные вплоть до п -го порядка. Порядком ОДУ называется порядок старшей производной от искомой функции. Различают линейные и нелинейные дифференциальные уравнения. Например, линейное уравнение:

и нелинейное

.

Так как элементами дифференциального уравнения являются производные функции у(х), которая и будет решением уравнения, то вполне очевиден основной принцип решения – интегрирование уравнения. Например, наиболее простая форма уравнения , где а=const, представляется так:

.

Разделяем переменные: .

Интегрируем обе чести: ,

.

Напомним, что C=const и носит название постоянной интегрирования. Таким образом, конечное уравнение описывает бесконечное множество решений, которые геометрически представляют собой набор прямых (в рамках рассмотренного примера) линий с одинаковым угловым коэффициентом (а), но с произвольными значениями постоянной интегрирования С (рисунок 25).

Рисунок 25 - Графическая интерпретация решения уравнения

Чтобы выбрать из множества возможных решений необходимое (т.е. однозначно определить решение), необходимо задать координаты хотя бы одной точки на графике , например, (заметим, что и для одного можно задать любое значение ). Зная величины , можно легко найти постоянную интегрирования из условия: при обязательно (прямая 2, рисунок 25). Тогда

,

отсюда .

В результате получим окончательное решение:

.

Общим интегралом дифференциального уравнения п -го порядка называют функцию , которая связывает независимую переменную х, искомую функцию и п постоянных интегрирования с помощью уравнения Ф=0. Функция входит в интеграл неявным образом. Общим решением ОДУ называется функция , связывающая независимую переменную и п постоянных интегрирования, т.е. она явно определяет функцию у(х).

Как было показано выше, для определения постоянных надо задать дополнительные условия. Их число должно быть равно числу постоянных интегрирования (т.е. п – порядку дифференциального уравнения). После их определения получаем частное решение . Совокупность ОДУ (например, при п=1) и дополнительных условий (в дальнейшем они будут называться начальными условиями) например, при , называют задачей Коши. Если дополнительные условия задаются более чем в одной граничной точке расчетной области, то совокупность ОДУ и дополнительных условий называют краевой задачей, а дополнительные условия - граничными или краевыми условиями.

Актуальность задачи Коши для многих областей науки и техники явилась причиной разработки для ее решения большого количества методов. Они могут быть подразделены на две группы численных методов решения задачи Коши:

- одношаговые методы - для нахождения решения в некоторой точке отрезка используется информация только в одной предыдущей точке (к ним относятся методы Эйлера и Рунге-Кутты);

- многошаговые методы – для отыскания решения в некоторой точке используется информация о решении в нескольких предыдущих точках (методы Адамса).