Деление комплексных чисел

Из определения умножения комплексных чисел выводится знак О как для обращения умножения:

,, _. (ас + Ьб Ьс - абл, „

(а; Ь) О с; б) = — _? > ~2- г < ^с; * (0; 0).

^с + б с + < Г'

При всех вычислительных операциях можно заменять действительные комп­лексные числа вида (а; 0) на действительное число а. Для чисто мнимого числа (0; 1) для краткости используется буква /'. Для любого комплексного числа (а; Ь) получается (по определению умножения и сложения): (а; Ь) = а + Ы (< " Рис. 24).

п При этом

И / • / = (0; 1) ■ (0; 1) = (0 • 0-1 • 1; 0 • 1 + 1 • 0) = < -1; 0) = -1 Взаимно сопряженные комплексные числа

Определение: г есть_число, комплексно сопряженное к г ~ а + Ы. Верно по определению, что г = к - Ы.

Взаимно сопряженные комплексные числа отличаются, следовательно, толь­ко знаком мнимой части. Они расположены на комплексной числовой плос­кости симметрично относительно действительной оси.

Вычисления с комплексными числами

При вычислениях комплексные числа вида а + Ы рассматриваются как суммы действительных чисел.

т а) (2 - 5/) + (6 - 3/) = 8-81= б) (4 + 3/) - (1 - 3/) = 3 + 6/ = = 8(1-/); =3(1+2/);

в) (7 + 2/) • (4 + 0-7 • 4 + 2/ ■ 4 + 7 • / + 2/² = = 28 + 15/+ 2 • (-1) = = 26 + 15/';

4/ _ (3 - 4/)(4 - 5/) _ (4 + 50(4 - 5/)

12 + 20 Г - 31/

16 - 25 /² -8 - 31/ ₌ _ 31. 41 41 41

(Умножение числителя и знаменателя на число, комплексно сопряженное зна­менателю.)

Г)

5/

Модуль комплексного числа

Определение: Модуль |г| комплексного числа г = а + Ы есть \г\ = ■ + Ь² Рис. 24).

Модуль комплексного числа определяет его расстояние от начала координат числовой плоскости. / Модуль действительного числа, с. 40.

Имеем \г\ = \г\ = 4г~г\ • г₂\ = 1^1 • |г₂|;

, {г₂ ф 0).

Ригонометрическая форма комплексного числа

^сли ввести полярную систему координат на комплексной плоскости, то риожно записать комплексное число г = х + /у {г ф 0) в так называемой триго­нометрической форме (/" Рис. 25).

x = г' СОЗ ф у = Г ■ 3! П ф г - х + /у

2 = Г (СОБ ф + I 51П ф)

(тригонометрическая форма)

Рис. 25

; ею ф = * -

4- у

Угол ф называется аргументом 2(агд 2). Он однозначно определен с точно- 0ТЫ0 до прибавления 2ял (где п — целое).

Комплексное число г = 0 нельзя представить в тригонометрической форме, тек как ему не может быть однозначно сопоставлен аргумент. / Полярные координаты, с. 300 и далее.

Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме

Для комплексных чисел - г-, (соз < р₁ + / зт щ) \л г₂- ^(соз ф₂ ⁺ ' ⁸'^п Ф₂) имеем:

а) г_л ' г₂~ ^Г \ * ^Г2^С05 [(Ф1 ⁺ Ф2) ⁺' ⁸'^п (Ф1 ⁺ г_л г,

б) - - - [соз (Фч - ф₂) + /' 51П (ф₁ - ф₂)].

2 '2

■ • г₂ ⁼ ^(соз ф-| + /' 31П ф.-,) • г₂(соз ф₂ + / з! п ф₂) =

= г_л ' Г₂[С03 ф-|С05 Ф₂ - 31П ф-(51П ф₂ + /(81П _Ф1С03 ф₂ + СОЗ ф-, 51П ф₂)] =

= г-| • г₂[соз (фч + ф₂) + / 81П (фч + ф₂}] (Теоремы сложения для синуса и косинуса.)

Теоремы сложения для функций зт и соз, с. 130. Комплексные числа в тригонометрической форме умножают, умножая моду­ли и складывая аргументы.

Чтобы разделить комплексные числа в тригонометрической форме, надо разделить модули и взять разность аргументов.

И Дано: г_л - -1 - 3/; г₂ = 2 + /'.

Умножение: ^ • *₂ = (-1 - 3/)(2 + /) = -2 - / - 6/ - З/'² = 1 - 7/.

-1 - 3/ (-1 - 3/)(2 - /) -2 + / - 6/ + З/² -5 -5/.. Деление: 21: г₂ = -- г = Чт--------------------------------- —г² =------------ 5--- = —~— - -1 -

¹ ^ 2 + I (2 + /)(2 -/) 4 - / ⁵

Преобразование в тригонометрическую форму:

= х₁ + /у₁ ~ -1 - 3/ = х₂ + /у₂ = 2 + 1

Х1=-1; У1=- з х₂ = 2; у₂=1

Следовательно, Следовательно,

2ч = л/То (соз 251, 57° + / зт 251, 57°); г₂ = 75 (соз 26, 57° + 1з1п 26, 57°)

Умножение: • 2₂ = 710 • л/5 (соз 278, 14° + /' зю 278, 14°) =1-7/ (с точно­стью до ошибок округления).

Деление: ^ = ^ (соз 255° + / з'ш 225°) = 72 [~\Л - ^72/) = -1 - /.