Отсюда следует, что

Х = (Е – А)^-1 × Y,

то есть устанавливается аналитическая зависимость между валовым объемом продукции предприятия и конечным объемом продукции (или всеми услугами, оказанными внешним потребителям предприятия).

В расширенной модели межпроизводственных связей предприятия осуществляется увязка объёмов производства с объёма­ми ввода основных производственных фондов в течение рассматриваемого периода. Пусть вектор потребляемой конечной продукции расши­ренной модели Y1 по сравнению с вектором конечной продукции Y вышеприведенной модели находится в следующем соотношении:

Y1 = Y – Ф, (4.10) где Ф - вектор ввода основных производственных фондов.

Тогда расширенная модель межпроизводственного баланса предприятия представляется следующим образом:

AX + Y1 + Ф = Х, (4.11)

К + LФ – МW = DX, (4.12)

где К - стоимость основных производственных фондов (ОПФ) на начало года;

L- вектор коэффициентов ввода ОПФ,

М - вектор коэффициентов выбытия ОПФ;

W - объём выбытия ОПФ;

D - диагональная матрица коэффициентов фондоёмкости.

Дальнейшим развитием модели межпроизводственного баланса предприятия может служить модель оптимального межпроиз­водственного баланса (МОМБ), []. В основе МОМБ лежит формулировка целевой функции и системы ограничений на возможное использование материальных, трудовых и финансовых ресурсов.

В целом она записывается следующим образом:

Y1 ® max, (4.13)

(E – A) X – Ф – Y1 ³ 0,

S – DX + LФ ³ 0,

РХ £ G,

X ³ 0, Ф ³ 0, Y1³ 0,

где S = K – MW, (4.14)

P, G – параметры системы ограничений.

В частности, модель включает ограничения:

а) по использованию материальных ресурсов:

_n

S r_kj X_j £ R_k, k = 1, k₀, (4.15)

^j=1

где r_kj – норматив использования k-го вида материального ресурса для производства продукции j-го подразделения;

R_k – общий объём выделенных материальных ресурсов k-го вида;

б) по использованию производственных мощностей:

t_j X_j £ T_j, j = 1, n, (4.16)

где t_j – норматив затрат времени работы технических средств на производство единицы продукции j-го вида (величина, обратная нормативной производительности технических средств на выработке j -ой продукции),

Tj - полезный фонд времени работы технических средств j-го подразделения;

в) другие ограничения.

Динамическая модель межпроизводственного баланса, прежде всего, характеризует развитие предприятия по годам планового периода.

Существуют различные виды динамических моделей. Так, по характеру отражения процесса формирования капитальных вложений в развитии производства выделяют модели без учёта и с учётом лага капитальных вложений.

В свою очередь, модели без учёта лага капитальных вложений подразделяются на модели типа А и Б. Модели типа А основаны на предположении, что для увеличения производственных мощностей достаточно только выделить необходимые капитальные вложения.

По существу, модели типаА описываются следующим уравнением:

AX (t) + D × DХ (t) + Y1 (t) = X (t), t = 1, 2…Т (4.17)

где DX - прирост выпуска продукции;

t – год;

T - период планирования.

Динамическая модель типа Б строится по аналогии расширенной модели межпроизводственного баланса и характеризуется тем, что в ней, наряду с уравнением производства и распределения продукции, рассматриваются уравнения баланса основных производственных фондов. Такая модель имеет следующий вид:

AX (t) + Ф (t) + Y1 (t) = X (t), t = 1, 2, … T (4.18)

К (t) + LФ (t) – М W (t) = DX (t), t = 1, 2, … T (4.19)

Динамическая модель межпроизводственного баланса предприятия с учётом лага капитальных вложений характеризуется задержкой ввода ОПФ по сравнению со сроками выделения капиталь­ных вложений на их строительство.

За основу сводного планирования развития порта может быть принята следующая динамическая модель оптимального межпроизводственного баланса (ДМОМБ), []:

_{T n n T n}

- å å å n_ij (t) × I_ij (t) + å å Y1_i (t) ® max (4.20)

^{t=1 i=1 j=1 t=1 i=1}

_{n n}

å a_ij (t) × X_j (t) + å I_ij (t) + Y1_i (t) = X_i (t), i = 1, n; t = 1, T; (4.21)

^{j=1 j=1}

К_j (t) + l_jФ_j (t) – m_j W_j (t) = D_j (t)× X_j (t), j = 1, n; t = 1, T; (4.22)

К_j (t) = К_j (t -1) + Ф_j (t -1) – W_j (t -1), j = 1, n; t = 1, T; (4.23)

_n

Ф_j (t) = å I_ij (t - t_j), j = 1, n; t = 1, T; (4.24)

ⁱ⁼¹

_n

(1 - e) × I⁰_j (t) £ S I_ij (t) £ (1 + e) × I⁰_j (t), j = 1, n; t = 1, T; (4.25)

ⁱ⁼¹

X_i (t) £ X^c_i (t), i = 1, n; t = 1, T; (4.26)

W_j (t) = const, j = 1, n; t = 1, T; (4.27)

К_j (0) = const, I_ij (0) = const; I_ij (-1) = const; i, j = 1, n; t = 1, T; (4.28)

X_i (t) ³ 0, I_ij (t) ³ 0, Ф _j (t) ³ 0, i, j = 1, n; t = 1, T; (4.29)

Y1_i (t) ³ 0, K _j (t) ³ 0, i, j = 1, n; t = 1, T (4.30)

Здесь переменными модели являются:

X_i (t) – валовая продукция i-го подразделения в году t;

Y1 _i (t) – потребляемая конечная продукция i-го подразделения в году t;

I_ij (t) – объём капитальных вложений i-го подразделения в j-е подразделе-ние в году t;

Ф _j (t) – объём ввода ОПФ j-го подразделения в году t;

K _j (t) - объём ОПФ j-го подразделения на начало года t.

Параметрами модели являются:

n_ij – условные нормативы уплаты процентов за кредит j-го подразделения за объём капитальных вложений i-го подразделения в году t;

a_ij (t) – коэффициенты прямых затрат в году t;

l_j – коэффициент среднегодового ввода ОПФ j-го подразделения;

m_j - коэффициент среднегодового выбытия ОПФ j-го подразделения;

W_j (t) – объём выбытия ОПФ j-го подразделения в году t;

D_j (t) – коэффициент фондоёмкости j-го подразделения в году t;

t_j - лаг задержки ввода ОПФ j-го подразделения;

I⁰_j (t) – равновесный объём капитальных вложений j-го подразделения в году t;

e - коэффициент вариации капитальных вложений относительно равновесного значения;

X^c_i (t) – объём спроса на продукцию i-го подразделения в году t.

Целевая функция модели (4.20) обеспечивает максимизацию потребляемого конечного продукта и минимизацию перераспределения капитальных вложений. Уравнение (4.21) представляет собой уравнение баланса производства и распределения продукции. Уравнение (4.22) представляет собой уравнение баланса ОПФ. Уравнение (4.23) представляет собой уравнение движения ОПФ. Уравнение (4.24) представляет уравнение связи между объёмом ввода ОПФ и объёмом капитальных вложений, сдвинутых на лаг задержки t_j.

Следующее неравенство (4.25) определяет границы допустимых вариаций капитальных вложений j-х подразделений. Следующее неравенство (4.26) определяет верхнюю границу валового выпуска продукции. Следующие (4.27 и 4.28) соотношения определяют граничные условия задачи. И последние условия (4.29 и 4.30) реализуют условия неотрицательности переменных задачи.

В результате решения данной модели можно определить стратегический план развития предприятия с учётом взаимодействия всех его подразделений и проектов, в котором будет представлено материально-техническое развитие каждого подразделения, объём необходимых ресурсов.

Перечень использованных источников

1. Гранберг А. Г. Математические модели социалистической экономики. – М.: Экономика, 1978. – 350 с.

2. Дадаян В. С. Моделирование народнохозяйственных процессов. – М.: Экономика, 1973. – 479 с.

3. Данилин В. И. Экономико-математические модели годового планирования на предприятии. – М.: Наука, 1975. – 148 с.