Задача 5 практика 2

Задача 4.10. Гармонический осциллятор находится в основном состоянии. Найдите вероятность обнаружения частицы вне пределов классической области, т.е. вне области , где - амплитуда классических колебаний.

Решение: Поскольку осциллятор находится в основном состоянии, то, согласно (4.81), (4.83) его энергия равна , а волновая функция, описывающая его состояние, имеет вид . Здесь - частота классического гармонического осциллятора, а параметр определяется выражением

.

При максимальном отклонении классического осциллятора от положения равновесия его полная энергия должна быть равна потенциальной энергии, т.е.

Отсюда следует, что амплитуда классических колебаний

Найдем вероятность обнаружения частицы в классической области

где . Поскольку под интегралом стоит четная функция переменной , то

Интеграл

называется интегралом вероятностей. Этот интеграл широко используется в теории вероятностей, статистике, теоретической и математической физике, его значения для различных пределов интегрирования приведены в таблицах. В данном случае, при , , следовательно

Соответственно, вероятность того, что частица будет обнаружена вне классической области, равна

Таким образом, вероятность пребывания гармонического осциллятора, находящегося в основном состоянии, вне пределов классической области составляет ~ 16 %, т.е. имеет заметную величину.