Задача 7 практика 1

Задача 4.7. Частица массы падает на прямоугольный потенциальный барьер высоты и ширины . Энергия частицы . Найдите: а) коэффициент прозрачности барьера ; б) значения энергии частицы, при которых она будет беспрепятственно проходить через такой барьер.

Решение: Обозначим цифрой I область меньше 0, цифрой II область , и цифрой III область > . Решения уравнения Шредингера в этих трех областях имеют вид

где

Условие сшивки волновых функций и их производных на границах барьера (при и ) приводят к следующей системе уравнений

Решая эту систему, находим амплитуду прошедшей волны

Коэффициент прохождения частицы над потенциальным барьером выражается через векторы плотности потока вероятности для падающей и прошедшей волн

В данном случае = , = , следовательно

Подставляя сюда выражения для и , получаем

Коэффициент прохождения обращается в единицу при , т.е. при

Таким образом, значения энергии частицы, при которых , равны

Следует подчеркнуть, что хотя значение формально и удовлетворяет условию , но при коэффициент прохождения не будет равен единице. Дело в том, что при энергия частицы , т.е. и параметр также равен нулю. Это означает, что числитель и знаменатель дроби в выражении для равны нулю. Избавляясь от неопределенности, находим, что коэффициент прохождения при оказывается равным

Отметим, что аналогичным образом решается задача о движении частицы над прямоугольной потенциальной ямой конечной глубины.